(25分)如图所示,两个金属轮A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属轴O1和O2转动,O1和O2相互平行,水平放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1轮的辐条长为a1、电阻为R1,A2轮的辐条长为a2、电阻为R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略.半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起.一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点,绳在D上绕足够匝数后,悬挂一质量为m的重物P.当P下落时,通过细绳带动D和A1绕O1轴转动.转动过程中,A1、A2保持接触,无相对滑动;两轮与各自细轴之间保持良好的电接触;两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连.除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行.现将P释放,试求P匀速下落时的速度.
解析:
P被释放后,细绳的张力对D产生机械力矩,带动D和A1作逆时针的加速转动.通过两个轮子之间无相对运动的接触,A1带动A2作顺时针的加速转动.由于两个轮子的辐条切割磁场线,所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势,在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势,经电阻R构成闭合电路.A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中辐条受到安培力.不难看出,安培力产生的电磁力矩是阻力矩,使A1、A2加速转动的势头减缓.A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1和A2停止作加速转动,均作匀角速转动,此时P匀速下落,设其速度为v,则A1的角速度
(1)
A1带动A2转动,A2的角速度ω2与A1的角速度ω1之间的关系为
ω1a1=ω2a2 (2)
A1中每根辐条产生的感应电动势均为
(3)
轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式.
同理,A2中,轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联,其数值为
(4)
A1中,每根辐条的电阻为R1,轴与轮功之间的电阻是A1中四条辐条电阻的并联,其数值为 (5)
A2中,每根辐条的电阻为R2,轴与轮功之间的电阻是A2中四条辐条电阻的并联,其数值为 (6)
A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路,其中的电流为
(7)
以(1)至(6)式代入(7)式,得
(8)
当P匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即
(9)
以(8)式代入(9)式得
(10)
评分标准:(本题25分)
(1)、(2)式各2分,(3)、(4)式各3分,(5)、(6)、(7)式各2分,(9)式6分,(10)式3分.
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( 25分)如图所示,在半径为的圆柱空间中(图中圆为其横截面)充满磁感应强度大小为
的均匀磁场,其方向平行于轴线远离读者.在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为
的刚性等边三角形框架
,其中心
位于圆柱的轴线上.
边上
点(
)处有一发射带电粒子的源,发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于
边向下.发射粒子的电量皆为
(>0),质量皆为
,但速度
有各种不同的数值.若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞,并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边.试问:
1.带电粒子速度的大小取哪些数值时可使
点发出的粒子最终又回到
点?
2. 这些粒子中,回到点所用的最短时间是多少?
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10分)如图所示,处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1.0m,导轨平面与水平面成θ=37??角,下端连接阻值为R的电阻。匀强磁场方向与导轨平面垂直。质量为0.20kg,电阻不计的金属棒放在两导轨上,棒与导轨垂直并保持良好接触,它们之间的动摩擦因数为0.25。⑴求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小;⑵当金属棒下滑速度达到稳定时,电阻R消耗的功率为8.0W,求该速度的大小;⑶在第2问中,若R=2.0Ω,金属棒中的电流方向由a到b,求磁感应强度的大小和方向。(g=10m/s2,sin37??=0.60,cos37??=0.80)
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(25 分)如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放置的绝热气缸内.活塞可在气缸内无摩擦地滑动.气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体十分缓慢地加热.气缸处在大气中,大气压强为p0.初始时,气体的体积为 V0 、压强为 p0.已知 1 摩尔该气体温度升高1K 时其内能的增量为一已知恒量。,求以下两种过程中电热丝传给气体的热量 Ql 与 Q2之比.
1.从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时间,然后停止通电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 pl .
2.仍从初始状态出发,让活塞处在自由状态,在电热丝中通以弱电流,也持续一段时间,然后停止通电,最后测得气体的体积为V2。
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