Question

15．2013年6月11日，我国神舟十号载人飞船成功发射．飞船变轨后在距地面的高度h沿圆形轨道环绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，已知地球半径为R，引力常量为G．求：
（1）求地球质量；
（2）求地球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 飞船绕地球做匀速圆周运动，地球对飞船的万有引力提供飞船的向心力，知道飞船绕地球圆周运动的周期T、轨道半径R+h，即可求出地球的质量．
利用圆周运动的知识，由周期和半径，能求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）设地球的质量为M，根据牛顿第二定律有：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根据牛顿第二定律，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{R{T}^{2}}}$
答：（1）地球的质量$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）地球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{R{T}^{2}}}$．

点评 解决飞船、人造地球卫星类型的问题常常建立这样的模型：卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对卫星的万有引力提供卫星所需要的向心力．常常是万有引力定律与圆周运动知识的综合应用．