Question

2．如图所示，在Oxy平面（纸面）内有垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一足够长的挡板MN与x轴成30°角倾斜放置且通过原点O，放射源A的位置坐标为（0，a）．某时刻，放射源A沿纸面向第一象限内的各个方向均匀地辐射同种带正电的粒子，粒子的质量为m、电荷量为q，速率均为$\frac{{\sqrt{3}aqB}}{2m}$．不计粒子的重力、不考虑粒子间的相互作用，打到挡板的粒子均被接地的挡板吸收．

（1）求在同一时刻，放射源A发出的能够到达挡板的粒子中，最后到达挡板的粒子和最先到达挡板的粒子的时间差；
（2）保持挡板与x轴正方向的夹角30°不变，在纸面内沿y轴负方向将挡板MN平移至某一位置，发现从放射源A发出的所有粒子中总有$\frac{1}{3}$的粒子能击中挡板，求挡板与y轴交点的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力提供向心力即可求出粒子运动的半径，然后求出周期．根据粒子转过的圆心角与粒子做圆周运动的周期，根据t=$\frac{θ}{2π}T$求出粒子的运动时间以及最后到达挡板的粒子和最先到达挡板的粒子的时间差；
（2）发生的粒子角度的范围是180°，若有$\frac{1}{3}$的粒子能击中挡板，则对应的角度为60°的范围，画出粒子运动的轨迹，找出60°的角的时候的几何关系即可正确解答．

解答 解：（1）正粒子在纸面内做半径为R的匀速圆周运动，由牛顿第二定律：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
解得：$R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
弦长最短时对应的圆心角最小，匀速圆周运动的时间最短．过A点作挡板的垂线，垂足为C，AC即为最短弦，其对应的圆心为O₁．在直角△OCA中：$AC=a•sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
可见，△O₁AC为等边三角形，则：$∠A{O_1}C={60^o}$
故在某一时刻，从放射源出发最先到达挡板的粒子（甲）用时：${t_{min}}=\frac{{{{60}^o}}}{{{{360}^o}}}{T_1}$
在该时刻，从放射源出发向上运动的粒子最后到达挡板（乙）用时最长，对应的弦为直径$\sqrt{3}a$
过A点作y轴的垂线，垂线AD交挡板于D点，在直角△OAD中：$AD=a•tan{60^0}=\sqrt{3}a$
故沿y轴正方向射出的乙粒子经过半个圆周最后到达挡板上的D点，用时：${t_{max}}=\frac{T_2}{2}$
甲、乙两粒子速率相同，由周期公式：${T_1}={T_2}=\frac{2πm}{qB}$
联立解得甲、乙两粒子到达挡板的时间差：$△t=\frac{2πm}{3qB}$

（2）如图2，以A点为圆心，以$R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$为半径画出所有粒子圆心的轨迹（半圆）．在直线AC上取点Q，令$CQ=AC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，当挡板平移到Q点的下方时，所有粒子都不能到达挡板．
假设当挡板平移到y轴负方向上的P点时，从放射源A发出的所有粒子中有$\frac{1}{3}$的粒子能击中挡板．作EF∥MN，交半圆周于E、F，分别过E、F点作挡板的垂线，对应的垂足为G、H，令$EG=FH=R=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，当∠EAF=60°时，将有$\frac{1}{3}$的粒子（圆心位置在弧$\widehat{EF}$之间的粒子）能击中挡板．由于∠EAC=30°，故E点必在y轴上．
由几何关系：$AP=R+\frac{R}{{sin{{60}^0}}}$
P点纵坐标：y_p=-（AP-a）
联立解得：${y_p}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
答：（1）在同一时刻，放射源A发出的能够到达挡板的粒子中，最后到达挡板的粒子和最先到达挡板的粒子的时间差是$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）发现从放射源A发出的所有粒子中总有$\frac{1}{3}$的粒子能击中挡板，挡板与y轴交点的纵坐标是$-\frac{\sqrt{3}}{2}a$．

点评 本题考查了求粒子做圆周运到达周期、运动时间等问题，难度较大，尤其是计算总有$\frac{1}{3}$的粒子能击中挡板时，要根据几何关系求出带电粒子在磁场中的偏转角有两个，要注意分别进行求解．