Question

14．如图所示，坐标平面的第Ⅰ象限内存在电场强度大小为E，方向水平向左的匀强电场，第Ⅱ象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．足够长的挡板MN垂直x轴放置，且距原点O的距离为d．若一质量为m、带电荷量为-q的粒子（不计重力）自距原点O为L的A点第一次以大小为v₀，方向沿y轴正方向的速度进入磁场，则粒子恰好到达O点而不进入电场．现该粒子仍从A点第二次进入磁场，但初速度大小为2$\sqrt{2}$v₀，为使粒子进入电场后能垂直打在挡板上，求：
（1）粒子在A点第二次进入磁场时，其速度方向与x轴正方向之间的夹角．
（2）粒子在A点第二次进入磁场时，该粒子到达挡板上时的速度大小及打到挡板MN上的位置到x轴的距离．

Answer 1

分析 以v₀进入时半经为$\frac{1}{2}$L为参考条件，求得以2$\sqrt{2}$v₀进入时的半径，并由垂直进入电场确定出圆心在Y轴上，画出运动轨迹图，以求得夹角；确定具体运动过程后，可由动能定理求得距离．

解答 解：（1）设速度为v₀时进入磁场后做圆周运动的半径为r，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{1}{2}$L，
设速度为2$\sqrt{2}$v₀时进入磁场做圆周运动的半径r′，
由牛顿第二定律得：q•2$\sqrt{2}$v₀B=m$\frac{（2\sqrt{2}{v}_{0}）^{2}}{r′}$，解得：r=$\sqrt{2}$L，
设其速度方向与x轴正方向之间的夹角为θ，
由图中的几何关系有：cosθ=$\frac{L}{r′}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：θ=45°或θ=135°；
（2）为使粒子进入电场后能垂直打在挡板上，
要求粒子进入电场时速度方向与x轴正方向平行，如图所示．
粒子进入电场后，由动能定理有：qEd=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$m（2$\sqrt{2}$v₀）²，
解得：v′=$\sqrt{8{v}_{0}^{2}+\frac{2qEd}{m}}$，
当θ₁=45°时，粒子打到挡板MN上的位置到x轴的距离为：
y₁=r′-r′sin45°=（$\sqrt{2}$-1）L，
当θ₂=135°时，粒子打到挡板MN上的位置到x轴的距离为：
y₂=r′+r′sin45°=（$\sqrt{2}$+1）L；
答：（1）粒子在A点第二次进入磁场时，其速度方向与x轴正方向之间的夹角为45°或135°．
（2）粒子在A点第二次进入磁场时，该粒子到达挡板上时的速度大小为$\sqrt{8{v}_{0}^{2}+\frac{2qEd}{m}}$，打到挡板MN上的位置到x轴的距离为：（$\sqrt{2}$-1）L、（$\sqrt{2}$+1）L．

点评 本通考查了粒子在电场与磁场中的运动，解题的基本思路是：分析清楚粒子运动过程，作出粒子运动轨迹，先定圆心，由条件得半径，确定运动轨迹；第二问粒子的速度大小可以由动能定理求解，也可以由类平抛运动规律求解．