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    5．如图所示，真空室内有一个点状的α粒子放射源P，它向各个方向发射α粒子（不计重力），速率都相同．ab为P点附近的一条水平直线（P到直线ab的距离PC=L），Q为直线ab上一点，它与P点相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$L（现只研究与放射源P和直线ab同一个平面内的α粒子的运动），当真空室内（直线ab以上区域）只存在垂直该平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，水平向左射出的α粒子恰到达Q点．（α粒子的电荷量为+q，质量为m；sin37°=0.6；cos37°=0.8）求：
    （1）α粒子的发射速率；
    （2）能到达直线ab的α粒子所用最长时间和最短时间的比值．
    （3）求能打到ab直线上的粒子占总发射粒子的几分之几？

    分析 （1）在匀强磁场中，α粒子由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，画出α粒子的运动轨迹，由几何知识求出α粒子做匀速圆周运动的半径，由牛顿第二定律求出α粒子的发射速率；
    （2）根据几何知识确定出轨迹圆心角的最大值与最小值，因为周期T相同，所以圆心角之比即为时间的比值；
    （3）找出能打中直线ab的粒子的临界条件，即轨迹与ab左右有两个相切的情况，找出相应能打中ab的初速度之间的夹角θ，根据粒子数之比等于发射速度的角度范围之比，即可求出能打到ab直线上的粒子占总发射粒子的几分之几．

    解答 解：（1）设α粒子做匀速圆周运动的半径R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图所示，

    由几何知识可得：$\frac{{\overline{PC}}}{{\overline{PQ}}}=\frac{{\overline{QA}}}{{\overline{QO}}}$
    代入数据可得α粒子轨迹半径：$R=\overline{QO}=\frac{5L}{8}$
    洛仑磁力提供向心力：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$
    解得α粒子发射速度为：$v=\frac{5BqL}{8m}$
    （2）真空室只加磁场时，圆弧O1和直线ab相切于D点，α粒子转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示．

    则：$sinβ=\frac{L-R}{R}$=$\frac{3}{5}$
    则有β=37°
    最大圆心角：γmax=360°-90°-37°=233°
    最长时间：${t_1}=\frac{{{γ_{max}}}}{360°}T$
    圆弧O2经C点，α粒子转过的圆心角最小，运动时间最短．
    则：$sinθ=\frac{L/2}{R}$=$\frac{4}{5}$  
    则有θ=53°
    最小圆心角：γmin=2θ=106°
    最短时间：${t_2}=\frac{{{γ_{min}}}}{360°}T$
    则最长时间和最短时间的比值为：$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{{γ_{max}}}}{{{γ_{min}}}}=\frac{233}{106}$
    （3）p点发射的粒子有两轨迹与ab线相切，初速度介于两速度之间的粒子都可以打在ab上，求出此时两速度之间的夹角θ，

    该角度内的粒子均可打到ab线上：θ=2（90°-37°）=106°
    能打到线上的粒子数占总数的n=$\frac{106}{360}$=$\frac{53}{180}$
    答：（1）α粒子的发射速率为$\frac{5BqL}{8m}$；
    （2）能到达直线ab的α粒子所用最长时间和最短时间的比值为$\frac{233}{106}$；
    （3）能打到ab直线上的粒子占总发射粒子的$\frac{53}{180}$．

    点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，确定圆心，找到几何条件；第二问关键是要找到临界情况，时间最长时转过的圆心角最大，时间最短时转过的圆心角最小；第三问把粒子数之比简化为求解发射速度的角度范围之比．

    练习册系列答案
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    A．25JB．50JC．100JD．2000J

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