Question

5．电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成．偏转电场由加了电压的相距为d的两块水平平行放置的导体板形成，如图甲所示．大量电子（其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场．当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为2t₀，当在两板间加如图乙所示的周期为2t₀、幅值恒为U₀的电压时，所有电子均从两板间通过，然后进入水平宽度为l，竖直宽度足够大的匀强磁场中，最后通过匀强磁场打在竖直放置的荧光屏上，已知电子的质量为m、电荷量为e．求：

（1）t₀时刻进入偏转电场的电子穿出两板之时的侧向位移；
（2）电子在刚穿出两板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比；
（3）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度；
（4）在满足第（3）问的情况下，打在荧光屏上的电子束的宽度．

Answer 1

分析 （1）电子从t₀时刻进入偏转电场，在这种情况下，电子在侧向做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律即可求出位移；
（2）根据粒子在磁场中的半径的公式可知，粒子的速度越大，半径越大，所以要使电子的侧向位移最大，应让电子从0、2t₀、4t₀…等时刻进入偏转电场，要使电子的侧向位移最小，应让电子从t₀、3t₀…等时刻进入偏转电场；
（3）电子垂直打在荧光屏上，根据粒子的运动的轨迹的几何关系，可以求得匀强磁场的磁感应强度的大小；
（4）于各个时刻从偏转电场中出来的电子的速度大小相同，方向也相同，因此电子进入磁场后的半径也相同．根据电子从偏转电场中出来时的最大侧向位移和最小侧向位移可以求得打在荧光屏上的电子束的宽度．

解答 解：（1）电子从t₀时刻进入偏转电场，在这种情况下，电子的侧向位移为y=$\frac{1}{2}$a${t}_{0}^{2}$      
所以 y=$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$   
（2）由题意可知，从0、2t₀、4t₀…等时刻进入偏转电场的电子侧向位移最大，在这种情况下，电子的侧向位移为
y_max=$\frac{1}{2}$a${t}_{0}^{2}$+v_yt₀
y_max=$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$+$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$=$\frac{3}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$
从t₀、3t₀…等时刻进入偏转电场的电子侧向位移最小，在这种情况下，电子的侧向位移为
 y_min=$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$ 
所以最大侧向位移和最小侧向位移之比为y_max：y_min=3：1
（3）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为q，由于电子要垂直打在荧光屏上，所以电子在磁场中运动半径应为：$R=\frac{l}{sinθ}$
电子从偏转电场中出来时的速度为v_t，垂直偏转极板的速度为v_y，则电子从偏转电场中出来时的偏向转角为：sinθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{t}}$
v_y=$\frac{{eU}_{0}}{dm}$t₀
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
上述四式可得：B=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$
（4）由于各个时刻从偏转电场中出来的电子的速度大小相同，方向也相同，因此电子进入磁场后的半径也相同，都能垂直打在荧光屏上
由第（1）问可知电子从偏转电场中出来时的最大侧向位移和最小侧向位移的差值为：△y=y_max-y_min  
所以△y=$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$
所以打在荧光屏上的电子束的宽度为△y=$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$．
答：（1）t₀时刻进入偏转电场的电子穿出两板之时的侧向位移$\frac{1}{2}$$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$；
（2）电子在刚穿出两板之间时的最大侧向位移与最小侧向位移之比是3：1；
（3）要使侧向位移最大的电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度是$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{dl}$；
（4）在满足第（3）问的情况下，打在荧光屏上的电子束的宽度是$\frac{{eU}_{0}}{dm}$${t}_{0}^{2}$．

点评 电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．