Question

3．1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，初速度为0，在加速器中被加速，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t和粒子获得的最大动能E_km．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据动能定理和洛伦兹力提供向心力求出轨道半径与加速电压的关系，从而求出轨道半径之比．
（2）求解出最大速度，得到最大动能；再求解出每次加速获得的动能为qU；得到加速的次数；最后运动的总时间；根据洛仑兹提供向心力，求出最大动能与磁感应强度的关系以及与加速电压频率的关系，然后分情况讨论出最大动能的关系．

解答 解：（1）设粒子第1次经过狭缝后的半径为r₁，速度为v₁，则：
Uq=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
进入磁场，粒子在运动过程中有：Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：r₁=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次经过狭缝后的半径：r₂=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{4mU}{q}}$
解得：$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$
（2）设粒子共加速了n圈，则2nqU=$\frac{1}{2}$mv²；
洛伦兹力提供向心力，则Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$
时间与周期的关系：t=nT
解得：t=$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$
加速电场的频率应该等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即：f=$\frac{Bq}{2πm}$
当磁感应强度为B_n时，加速电场的频率应该为：f_Bm=$\frac{{B}_{n}q}{2πm}$
粒子的动能：E_k=$\frac{1}{2}$mv²；
当f_Bm≤f_m时，粒子的最大动能由B_m决定，则：Bqvm=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：E_km=$\frac{{q}^{2}{B}_{m}^{2}{r}^{2}}{2m}$
当f_Bm≥f_m时，粒子的最大动能由f_m决定，则：v_m=2πf_mR 
解得：E_km=2π²mf_m²R²；
答：（1）粒子第2次经过两D形盒间狭缝后和第1次经过两D形盒间狭缝后的轨道半径之比为$\sqrt{2}$：1；
（2）粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t为$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$；当f_Bm≤f_m时，粒子的最大动能为$\frac{{q}^{2}{B}_{m}^{2}{r}^{2}}{2m}$；当f_Bm≥f_m时，粒子的最大动能2π²mf_m²R²．

点评 本题关键明确回旋加速器的工作原理，特别是要知道加速时间很短，与回旋时间相比完全可以忽略不计．