Question

13．如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r＜＜R，有一质量m，半径比r略小的光滑小球以水平初速射入圆管．小球在最高点c点时与管的作用力大小为$\frac{1}{2}$mg，求小球从c点离开管后落地AB面上的落点距离B点的距离是多少？

Answer 1

分析 分两种情况：小球在最高点C点时，上管壁对小球有向下的作用力F和下管壁对小球有向上的作用力F，利用牛顿第二定律求出在最高点的速度，在利用平抛运动的规律求小球从C点离开管后落地AB面上的落点距离B点的距离．

解答 解：当小球在最高点C点时，上管壁对小球有向下的作用力F时，
由牛顿第二定律可得：F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，即：$\frac{1}{2}$mg+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{3}{2}gR}$
小球从C点飞出后做平抛运动，
水平方向上：x₁=v₁t₁
竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt₁²
联立解得：x₁=$\sqrt{3}$R；
同理，当小球在最高点c点时，下管壁对小球有向上的作用力F时，
由牛顿第二定律可得：mg-F=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，即：mg-$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小球从C点飞出后做平抛运动，
水平方向上：x₂=v₂t₂
竖直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt₂²
联立解得：x₂=R．
答：小球从c点离开管后落地AB面上的落点距离B点的距离是$\sqrt{3}$R或R．

点评 对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点时，速度为零，知道在最高点的向心力等于合外力．特别是题干只告诉小球在最高点C点时与管的作用力大小，有可能是上管壁，也可能是下管壁，应分两种情况分析．