Question

（1）如图1所示，光滑水平面上有两个小球A、B，A球以速度v₁与原来静止的B球发生正碰，且碰撞过程中无机械能损失．设A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．
a．求碰撞后它们的速度v₁'和v₂'；
b．若A的初动能E_k1是一个定值，试论证当m₁、m₂满足什么关系时，A传给B的动能最少？
（2）如图2所示，将A、B球分别用等长的细线竖直悬挂起来，使它们刚好接触．悬点到球心的距离均为L．让B球静止在最低点，将A球向左拉起一个很小的偏角θ，然后释放，两球在最低点发生正碰且碰撞过程中无机械能损失．若m₂=3m₁，不考虑空气阻力的影响，释放A球时开始计时（t=0），求两球每次碰撞后的速度以及每次碰撞的时刻．

Answer 1

分析：（1）两球碰撞过程动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出两球碰撞后的速度；
由动能定理求出A对B做的功，然后由数学知识求出两物体质量满足什么关系时，A传给B的动能最少．
（2）两球碰撞过程动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出球的速度，两球做简谐运动，分析它们的运动过程，求出碰撞时间．

解答：解：（1）a、两个小球A、B发生弹性碰撞，动量守恒、机械能守恒，以A、B组成的系统为研究对象，A的初速度方向为正方向，由动量守恒得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
由机械能守恒定律得：

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1v1′2+

1

2

m2v2′2，
解得碰撞后它们的速度：v1′=

m1-m2

m1+m2

v1，v2′=

2m1

m1+m2

v1；
b、对B，由动能定理得：Ek2=

1

2

m2v2′2=

1

2

m2(

2m1

m1+m2

v1)2=

4

m1 m2 + m2 m1 +2

?Ek1，
当 m₁＞＞m₂或 m₁＜＜m₂时，A传给B的动能最少；
（2）A球向下摆动的过程中，由机械能守恒定律得：
m1gL(1-cosθ)=

1

2

m1v12，
解得：v1=

2gL(1-cosθ)

；
以A、B组成的系统为研究对象，A的初速度方向为正方向，由动量守恒得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
由机械能守恒定律得：

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1v1′2+

1

2

m2v2′2，
已知：m₂=3m₁，
解得A、B第一次碰撞后两球的速度：v1′=-

v1

2

，v2′=

v1

2

，
A、B第二次碰撞，由动量守恒定律得：m₁

v1

2

+3m₁（-

v1

2

）=m₁v₁″+3m₁v₂″，
由能量守恒定律得：

1

2

m₁(

v1

2

)2+

1

2

?3m₁(-

v1

2

)2=

1

2

m₁v₁″^2₊=

1

2

?3m₁v₂″²，
第二次碰撞后两球的速度：v₁″=-v₁，v₁″=0；
第三次碰撞过程与第一次相同，第四次碰撞过程与第二次相同，…
第一次、第三次、第五次、…A、B碰撞后的速度：v1′=-

2gL(1-cosθ)

2

，v2′=

2gL(1-cosθ)

2

，
第二次、第四次、第六次、…A、B碰撞后的速度：v₁″=-

2gL(1-cosθ)

，v₂″=0，
单摆做简谐运动的周期：T=2π

L g

，
两球发生碰撞的时刻：t=

T

4

+n

T

2

=(2n+1)

π

2

L g

（其中n=0，1，2，3，…）．
答：（1）a、两球碰撞后它们的速度分别为：v1′=

m1-m2

m1+m2

v1，v2′=

2m1

m1+m2

v1；
b、当 m₁＞＞m₂或 m₁＜＜m₂时，A传给B的动能最少．
（2）两球每次碰撞后的速度为：
第一次、第三次、第五次、…A、B碰撞后的速度：v1′=-

2gL(1-cosθ)

2

，v2′=

2gL(1-cosθ)

2

，
第二次、第四次、第六次、…A、B碰撞后的速度：v₁″=-

2gL(1-cosθ)

，v₂″=0，
每次碰撞的时刻为：t=

T

4

+n

T

2

=(2n+1)

π

2

L g

（其中n=0，1，2，3，…）．

点评：本题难度较大，是一道难题，分析清楚物体的运动过程是正确解题的关键，应用动能定律、动量守恒定律、机械能守恒定律即可正确解题．