Question

竖直放置的平行金属板M、N相距d=0.2m，板间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，极板按如图所示的方式接入电路．足够长的、间距为L=1m的光滑平行金属导轨CD、EF水平放置，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度也为B．电阻为r=1Ω的金属棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好．已知滑动变阻器的总阻值为R=4Ω，滑片P的位置位于变阻器的中点．有一个电荷量为q=+2.0×10^-5C的带电小球，沿光滑斜面下滑后从两板中间左端沿中心线水平射入场区．（g=10m/s²）

（1）小球从高H=0.45m处由静止开始下滑，到C点时速度v₀多大？
（2）若金属棒ab静止，小球以初速度v₀射入后，恰从两板间沿直线穿过，求小球的质量m=？
（3）当金属棒ab以速度v=1.5m/s的速度向左匀速运动时，试求：小球从多高的地方滑下时，小球恰能垂直的打在金属板M上．

Answer 1

分析：根据动能定理求到底端的速度；金属棒ab静止时，MN间只有磁场，球受重力和洛伦兹力平衡；当金属棒ab向左匀速运动时，产生感应电动势，受到的电场力与重力平衡，小球在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，垂直打到M板时的半径为板间距的一半，由洛伦兹力充当向心力求速度，再由动能定理求下降的高度．

解答：解：（1）由动能定理：mgH=

1

2

mv²₀-0        
解得：v₀=

2gH

=

2×10×0.45

=3m/s         
（2）金属棒ab静止时，MN间只有磁场，由平衡条件有：
qBv₀=mg                       
解得：m=

qv0B

g

=

2.0×10-5×3×0.5

10

=3×10^-6kg       
（3）当金属棒ab向左匀速运动时，感应电动势 
E=BLv=0.5×1×1.50.75V     
板间电压：U=

E

r+R

R

2

=

0.75

4+1

×

4

2

=0.3V     
小球进入磁场时，所受电场力：F电=q

U

d

=

2×10-5×0.3

0.2

=3×10^-5N=mg
可见，小球进入磁场后只受洛伦磁力的作用，将做匀速圆周运动，设轨迹半径为r₀，
则有：qvB=m

v2

r0

     
垂直打在金属板上，则得：r0=

d

2

解得：v=

Bqd

2m

=

0.5×2×10-5×0.2

2×3×10-6

=

1

3

m/s
A→C：由动能定理：mgH=

1

2

mv²-0        
解得：H=

v2

2g

=

1 9

2×10

=

1

180

m      
答：（1）小球从高H=0.45m处由静止开始下滑，到C点时速度3m/s；
（2）若金属棒ab静止，小球以初速度v₀射入后，恰从两板间沿直线穿过，求小球的质量3×10^-6kg；
（3）当金属棒ab以速度v=1.5m/s的速度向左匀速运动时，小球从

1

180

m高的地方滑下时，小球恰能垂直的打在金属板M上．

点评：本题考查了仅有洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动；洛伦兹力与电场力相等时做匀速直线运动；动能定理的应用，是综合性较大的题目．