Question

1．如图所示，在以O为圆心的圆形区域内，有一个方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T，圆半径R=10$\sqrt{3}$cm，竖直平行放置的金属板连接在如图所示的电路中，电源电动势E=91V，内阻r=1Ω，定值电阻R₁=20Ω，滑动变阻器R₂的最大阻值为70Ω；两金属板上的小孔S₁、S₂跟O点在垂直于极板的同一直线上，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，O点跟荧光屏D之间的距离H=20$\sqrt{3}$cm，现有比荷$\frac{q}{m}$=4×10⁵C/kg的正正离子由小孔S₁进入电场加速后，从小孔S₂穿出，通过磁场后打在荧光屏D上，不计离子的重力和离子在小孔S₁处的初速度，问：
（1）若离子能垂直打在荧光屏上，则电压表的示数多大？
（2）滑动变阻器滑片P的位置不同，离子在磁场中运动的时间也不同，求离子在磁场中运动的最长时间和此种情况下打在荧光屏上的位置到屏中心O′点的距离．

Answer 1

分析 （1）正离子垂直打在荧光屏上，由几何知识求出在磁场中做圆周运动的半径．离子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求得速度．离子在电场中加速过程，由动能定理求得两金属板间的电压，即为电压表的示数．
（2）滑片在变阻器R₂的左端时，离子在磁场中运动的时间最长；先根据闭合电路欧姆定律求解极板间的电压，然后根据动能定理求解加速后的速度，根据牛顿第二定律求解磁场中圆周运动的半径，结合几何关系确定打在极板上的位置．

解答 解：（1）若离子由电场射出进入磁场后垂直打在荧光屏上，
则离子在磁场中速度方向偏转了90°，
离子在磁场中做圆周运动的径迹如图所示：

由几何知识可知，离子在磁场中做圆周运动的圆半径：r₁=R=10$\sqrt{3}$cm，
设离子进入磁场时的速度为v₁，洛伦兹力提供离子做圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：r₁=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$，
设两金属板间的电压为U，离子在电场中加速，
由动能定理有：qU₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，解得：U₁=$\frac{q{B}^{2}{r}_{1}^{2}}{2m}$，
解得：U₁=60V，即：电压表示数为60V；
（2）两金属板间的电压越小，离子经电场加速后速度也越小，
离子在磁场中作圆周运动的半径越小，射出电场时的偏转角越大，
在磁场中运动的时间越长，所以滑片在变阻器R₂的左端时，
离子在磁场中运动的时间最长．
由闭合电路欧姆定律有：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$=1A，
两金属板间电压：U_min=IR₁=20V，
由动能定理得：qU_min=$\frac{1}{2}$mv₂²-0，离子轨道半径：r₂=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$，
解得：r₂=0.1m，

粒子进入磁场后的径迹如图所示，O₁为径迹圆的圆心．
由图可得：tanα=$\frac{R}{{r}_{2}}$，所以α=60°．
故离子在磁场中运动的最长时间为：t=$\frac{1}{3}$T≈5.2×10^-5s，
在△OO'A中，θ=30°，所以A、O'间距离为：x=Htanθ=20cm．
答：（1）若离子能垂直打在荧光屏上，则电压表的示数为60V；
（2）离子在磁场中运动的最长时间为5.2×10^-5s，此种情况下打在荧光屏上的位置到屏中心O′点的距离为20cm

点评 本题题考查了离子在电场与磁场中的运动，分析清楚离子的运动情况是求解的关键和基础，考查综合应用电路、磁场和几何知识，处理带电粒子在复合场中运动问题的能力，综合性较强．