Question

15．如图所示，宽L=2m、足够长的金属导轨MN和M′N′放在倾角为θ=30°的斜面上，在N和N′之间连接一个R=2.0Ω的定值电阻，在AA′处放置一根与导轨垂直、质量m=0.8kg、电阻r=2.0Ω的金属杆，杆和导轨间的动摩擦因数μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，导轨电阻不计，导轨处于磁感应强度B=1.0T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场中．用轻绳通过定滑轮将电动小车与杆的中点相连，滑轮与杆之间的连线平行于斜面，开始时小车位于滑轮正下方水平面上的P处（小车可视为质点），滑轮离小车的高度H=4.0m．启动电动小车，使之沿PS方向以v=5.0m/s的速度匀速前进，当杆滑到OO′位置时的加速度a=3.2m/s²，AA′与OO′之间的距离d=1m，求：

（1）该过程中，通过电阻R的电量q；
（2）杆通过OO′时的速度大小；
（3）杆在OO′时，轻绳的拉力大小；
（4）上述过程中，若拉力对杆所做的功为13J，求电阻R上的平均电功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出平均感应电动势、由欧姆定律求出平均电流、由电流定义式的变形公式求出通过电阻R的电量q．
（2）由几何关系求出α．根据小车沿绳子方向的分速度等于杆的速度，求杆通过OO′时的速度大小．
（3）由感应电动势为E=BLv，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出拉力的大小．
（4）根据动能定理求出克服安培力做功，从而求得电路产生总的电热，由电路的连接关系求出电阻R上产生的电热，即可求解电阻R上的平均电功率．

解答 解：（1）平均感应电动势 $\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLd}{△t}$
通过电阻R的电量 $q=\bar I•△t=\frac{△Φ}{R+r}=\frac{BLd}{R+r}$
代入数据，可得：q=0.5C
（2）几何关系：$\frac{H}{sinα}-H=d$
解得：sinα=0.8，α=53°
杆的速度等于小车速度沿绳方向的分量：v₁=vcosα=5×0.6=3m/s
（3）杆受的摩擦力 F_f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×0.8×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3N
杆受的安培力${F_安}=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}{{v}_1}}}{（R+r）}$
代入数据，可得  F_安=3N
根据牛顿第二定律：F_T-mgsinθ-F_f-F_安=ma
解得：F_T=12.56N
（4）根据动能定理：$W+{W_安}-mgdsinθ-{F_f}=\frac{1}{2}mv_1^2$
解出 W_安=-2.4J
则电路产生总的电热 Q_总=2.4J
由于R=r，那么，R上的电热 Q_R=1.2J
此过程所用的时间 t=$\frac{Hcotα}{v}$=$\frac{4×cot53°}{5}$s=0.6s
R上的平均电功率 $\overline{P}=\frac{Q_R}{t}=\frac{1.2}{0.6}W=2.0W$
答：
（1）该过程中，通过电阻R的电量q是0.5C；
（2）杆通过OO′时的速度大小是3m/s；
（3）杆在OO′时，轻绳的拉力大小是12.56N；
（4）电阻R上的平均电功率是2.0W．

点评 本题是一道电磁感应与力学、电学相结合的综合题，分析清楚滑杆的运动过程，应用运动的合成与分解分析小车与杆的速度关系是关键．运用E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律、平衡条件、能量守恒定律即可正确解题；求R产生的热量时要注意，系统产生的总热量是R与r产生的热量之和．