Question

（2013?普陀区二模）根据电磁学有关知识，在某一空间放一电荷量为Q的点电荷，设无穷远处电势为零，则距离点电荷为r的某点的电势公式为φ=k

Q

r

，其中k为静电力常量．

（1）如图甲所示，在圆心处有一电荷量为+Q的点电荷，其等势面上a、b、c三点所在的圆半径分别为r_a、r_b和r_c．试用题中公式证明：r越大，点电荷的等势面越稀，即r_c-r_b＞r_b-r_a．
（2）如图乙中虚线所示是电荷量分别为+Q和-Q的等势面，试用题中公式证明：中垂线上任意一点P的电势为零．
（3）若将两个点电荷构成如图丙所示的电偶极子模型（指电荷量为q、相距为l的一对正负点电荷组成的电结构），点电荷q₀沿以电偶极子为中心、半径为R的半圆弧从A移动到B，试求q₀受到的电场力所做的功为多大？

Answer 1

分析：（1）根据点电荷电势公式φ=k

Q

r

以及φ_b-φ_a=φ_c-φ_b列式后分析求解；
（2）分别假设正负电荷单独存在，求出P点的电势，然后相加即可；
（3）先求解出A与B两点的电势，然后根据W_AB=qU_AB列式求解．

解答：解：（1）根据题意，a、b、c三点的电势分别为：φ_a=

kQ

ra

，φ_b=

kQ

rb

，φ_c=

kQ

rc

因为 φ_b-φ_a=φ_c-φ_b
所以

kQ

rb

-

kQ

ra

=

kQ

rc

-

kQ

rb

即

rb-ra

rbra

=

rc-rb

rcrb

，

rb-ra

rc-ra

=

ra

rc

由于r_c＞r_a，所以有r_c-r_b＞r_b-r_a
即离点电荷越远的地方，等差等势面应画的越稀．
（2）设两个电荷到P点的距离均为r，则
φ_p=

kQ

r

+

k(-Q)

r

=0
（3）电偶极子在A、B两点的电势为：
φ_A=

kq

R- l 2

+

k(-q)

R+ l 2

，φ_B=

kq

R+ l 2

+

k(-q)

R- l 2

A、B两点的电势差为：U_AB=φ_A-φ_B=

2kql

R2- l2 4

电场力做功为：W=qUAB=

2kq0ql

R2- l2 4

答：（1）证明如上；
（2）证明如上；
（3）q₀受到的电场力所做的功为

2kq0ql

R2- l2 4

．

点评：本题关键根据题意，得到单个点电荷和一对点电荷的空间任意一点的电势表达式，然后根据据W_AB=qU_AB列式求解．