Question

5．如图所示，质量m=1kg的物块A放在质量M=4kg木板B的左端，起初A、B静止在光滑水平地面上，现用一水平向左的力F作用在木板B上，已知AB之间的动摩擦因数为μ=0.4，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s²．求：
（1）能使AB发生相对滑动的F的最小值；
（2）若F=24N，作用1s后撤去，要想A不从B上滑落，则木板至少多长？

Answer 1

分析 （1）当AB保持相对静止时，两者具有相同的加速度，当A、B间的摩擦力达到最大静摩擦力，分别对A和整体利用牛顿第二定律求出F的最小值．
（2）根据牛顿第二定律，运用整体法和隔离法判断撤去拉力后，A、B能否保持相对静止，再分别对A、B运用牛顿第二定律和运动学公式，求出A不从B上滑落时木板至少的长度以及从开始到AB均静止A的总位移．

解答 解：（1）当AB保持相对静止时，两者具有相同的加速度，当A、B间的摩擦力达到最大静摩擦力，对于A，由牛顿第二定律得：
μmg=a_m  
代入数据解得：a_m=4m/s²．
对AB整体，由牛顿第二定律得：
F_min=（M+m）a_m  
代入数据解得：F_min=20N
（2）设F作用在B上时，A、B的加速度分别为a₁、a₂，撤去F时速度分别为v₁、v₂，撤去外力F后加速度分别为a₁′、a₂′．AB共同运动时速度为v₃，加速度为a₂，AB都做匀加速直线运动．
对A，由牛顿第二定律可得：μmg=ma₁   
代入数据解得：a₁=4m/s²．   
由速度公式得：v₁=a₁t₁=4×1=4m/s
对B，由牛顿第二定律得：F-μmg=Ma₂  
代入数据解得：a₂=5m/s²．  
由速度公式得：v₂=a₂t₁=5×1=5m/s
撤去外力后：a₁′=a₁=4m/s²，a₂′=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.4×1×10}{4}$=1m/s²．
经过t₂时间后AB速度相等，有：v₁+a₁′t₂=v₂-a₂′t₂．
代入数据解得：t₂=0.2s
则共同速度为：v₃=v₁+a₁′t₂=4+4×0.2=4.8m/s
从开始到AB相对静止．AB的相对位移即为木板最短的长度L
L=x_B-x_A=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}$+$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{3}^{2}}{2{a}_{2}′}$-$\frac{1}{2}$a₁（t₁+t₂）²
代入数据解得 L=0.6 m  
答：（1）能使AB发生相对滑动的F的最小值为20N．
（2）木板长至少为0.6m．

点评 本题属于牛顿运动定律中的典型模型“板块模型”，可以结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，．解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律进行求解，注意物体和木板相对滑动到相对静止的临界状态和整体法、隔离法的运用．