Question

飞天同学是一位航天科技爱好者，当他从新闻中得知，中国航天科技集团公司将在2010年底为青少年发射第一颗科学实验卫星--“希望一号”卫星（代号XW-1）时，他立刻从网上搜索有关“希望一号”卫星的信息，其中一份资料中给出该卫星运行周期10.9min．他根据所学知识计算出绕地卫星的周期不可能小于83min，从而断定此数据有误．
已知地球的半径R=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g=10m/s²．请你通过计算说明为什么发射一颗周期小于83min的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．

Answer 1

分析：航天器绕地球运行，根据万有引力提供向心力列出等式表示出运行周期．
卫星贴地飞行的周期最小，根据地球表面上所受重力近似等于万有引力表示出GM进行代换求解．

解答：解：设地球质量为M，航天器质量为m，航天器绕地球运行的轨道半径为r、周期为T，
根据万有引力定律和牛顿运动定律有

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

解得T=2π

r3 GM

 
由上式可知，轨道半径越小，周期越小．因此，卫星贴地飞行（r=R）的周期最小，设为T_min，
则T_min=2π

R3 GM

质量为m的物体在地球表面上所受重力近似等于万有引力，即

GMm

R2

=mg
因此有 GM=gR² 
联立解得：T_min=2π

R g

=5024a=83.7min 
因绕地球运行的人造地球卫星最小周期为83.7min，所以发射一颗周期为83min的绕地球运行的人造地球卫星是不可能的．

点评：运用黄金代换式GM=gR²求出问题是考试中常见的方法．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．