Question

2．如图所示，质量为m的物体套在光滑竖直杆上，一轻绳跨过固定的光滑小滑轮O连在物体m上，小滑轮到杆的水平距离OB=0.3m，绳另一端挂一质量为M的物块，当细绳与竖直杆间的夹角为60°时，系统恰可保持静止状态，不计轻绳的重力和一切阻力（g取10m/s²）
（1）求$\frac{m}{M}$的值；
（2）当将m由B点起从静止开始释放后，m将在B、C间做往复运动，求B、C间的距离及最大速度．

Answer 1

分析 （1）对m进行受力分析，由细绳与竖直杆间的夹角为60°时，系统恰可保持静止状态，结合共点力的平衡即可求出，可求出M：m．
（2）m到达最低点时，二者的速度都等于0，根据机械能守恒定律列式，联立即可求得向下的最大距离；
当m的速度最大时，受到的合外力恰好等于0，由机械能守恒结合运动的合成与分解即可求出最大速度．

解答 解：（1）M处于平衡状态，则绳子的拉力F=Mg
m受到重力、绳子的拉力和杆的支持力处于平衡状态，则绳子在竖直方向的分力等于m的重力，即：
mg=F•cos60°
联立得：$\frac{m}{M}=\frac{1}{2}$
（2）m向下滑动过程中，m与M组成的系统机械能守恒，设m到达最低点时下降的距离为h，M上升的高度为s，设BO之间的距离为L，则有
Mgs=mgh
又由几何知识有s=$\sqrt{{L}^{2}+{h}^{2}}$-L
联立得：h=0.4m
由题可知，当m的速度最大时，受到的合外力恰好等于0，可知此时绳子与杆之间的夹角为60°，设此时m的速度为v₁，M的速度为v₂，则v₁沿绳子方向的分速度等于v₂．
根据m的速度沿细线方向的分速度等于M的速度，得v₁cos60°=v₂，
则：v₂=0.5v₁
此时m下降的距离：$h′=\frac{L}{tan60°}=\frac{0.3}{\sqrt{3}}=0.1732m$
M上升的高度：$s′=\frac{L}{sin60°}-L=\frac{0.3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-0.3≈0.0464$m
又由机械能守恒得：mgh′=Mgs′+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
联立得：v₁≈1m/s
答：（1）$\frac{m}{M}$的值是$\frac{1}{2}$；
（2）B、C间的距离是0.4m，最大速度是1m/s．

点评 本题是系统的机械能守恒问题，关键是运用速度的分解法得到两个物体之间速度的关系．