Question

1．光滑平行轨道abcd如图所示，轨道的水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，轨道足够长．将质量相同的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，P棒置于距水平轨道高h的地方，放开P棒，使其自由下滑，则最终达到稳定状态时P棒的速度为$\frac{1}{5}$$\sqrt{2gh}$，Q棒的速度为$\frac{2}{5}$$\sqrt{2gh}$．

Answer 1

分析 根据动能定律解出金属棒刚刚到达磁场时的速度，然后P棒开始减速，Q棒开始加速，P、Q两棒产生的电动势方向相反，导致总电动势减小，但是总电动势还是逆时针方向，所以Q继续加速，P继续减速，直到P、Q产生的电动势大小相等，相互抵消，此时电流为零，两棒不在受安培力，均做匀速直线运动．

解答 解：设P，Q棒的质量为m，长度分别为2L和L，磁感强度为B，P棒进入水平轨道的速度为v，
对于P棒，金属棒下落h过程应用动能定理：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gh}$
当P棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流．P棒受到安培力作用而减速，Q棒受到安培力而加速，Q棒运动后也将产生感应电动势，与P棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小．最终达到匀速运动时，回路的电流为零，
所以：E_p=E_Q，即：2BLv_p=BLv_Q
则：2v_p=v_Q
因为当P，Q在水平轨道上运动时，它们所受到的合力并不为零．F_p=2BIL，F_Q=BIL（设I为回路中的电流），因此P，Q组成的系统动量不守恒．
设P棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为△t，
P，Q对PQ分别应用动量定理得：
-F_p△t=-2BIL△t=mv_P-mv  ①
F_Q△t=BIL△t=mv_Q-0  ②
2v_p=v_Q ③
解得：v_P=$\frac{1}{5}$$\sqrt{2gh}$，v_Q=$\frac{2}{5}$$\sqrt{2gh}$
故答案为：$\frac{1}{5}$$\sqrt{2gh}$，$\frac{2}{5}$$\sqrt{2gh}$

点评 运用动量守恒定律和机械能守恒定律之前，要判断题目所给的过程是否满足守恒的条件．动量守恒的条件是：系统所受的合外力为零，或者是在某一方向上所受的合外力为零，则系统在该方向上动量的分量守恒．