Question

12．如图（甲）所示，左侧由水平转轴及两个薄盘N₁、N₂构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距L=lm，盘上各开一狭缝，两狭缝夹角可调；右侧是由材料不同的平直与竖直$\frac{1}{4}$圆组成的粗糙轨道，两轨道相切连接，直轨道长为d=1m，圆半径为R=0.2m．一可视为质点的小物块，质量m=lkg，以v₀=4m/s的速度水平向右射入N₁狭缝，匀速通过两盘穿过N₂狭缝后，沿轨道运动，离开轨道后能上升的最大高度h=0.2m．已知两盘间存在特殊物质，物块一旦进入其中即受到一竖直向上恒力的作用，物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ=0.2．g取10m/s²．问：
（1）物块在两盘间受到的竖直向上恒力F的大小；
（2）若物块进人N₁时刻两盘狭缝夹角为θ=$\frac{π}{3}$，盘沿顺时针方向（从右往左看）匀速转动，如图（乙），要使物块能通过两狭缝，薄盘转动的角速度ω多大；
（3）物块通过两狭缝后，让两狭缝停止转动且竖直对齐，如图（丙），通过计算判断物块返回后能否再次通过两狭缝？

Answer 1

分析 （1）物块在两盘之间做匀速运动，合力为零，受到的恒力和重力平衡，即可由平衡条件求出恒力的大小．
（2）根据周期性和圆周运动的角速度公式，即可求出薄盘转动的角速度ω；
（3）由动能定理，选取物块向最高点运动的过程中，从而求得克服摩擦力做功，当返回时，再运用动能定理，因克服滑动摩擦力做功变小，进而可求得回到圆盘时的速度大小，从而求解．

解答 解：（1）由题意可知，物块在两盘间做匀速运动，滑块受到的恒力F和重力平衡，则有：
F=mg
代入数据解得：F=10N；
（2）根据运动学公式知，物块通过两盘的时间为：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{1}{4}$=0.25s；
由角速度公式ω=$\frac{θ}{t}$，则有：ω=$\frac{2kπ+\frac{π}{3}}{t}$=（8kπ+$\frac{4}{3}$π ）rad/s，k=0、1、2…
（3）小球向最高点运动的过程中，经过四分之一圆弧克服摩擦力做功为W；由动能定理得：
-W-μmgd-mg（R+h）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：W=2J；
若能到达N₂，且到达时的速度大小为v，W′为返回时过四分之一圆弧克服摩擦力做功，由动能定理有：
mg（R+h）-μmgd-W′=$\frac{1}{2}$mv²，
因W′＜2J，则有：v＞0，因此能再次通过两狭缝．
答：（1）物块在两盘间受到的竖直向上恒力F的大小是10N．
（2）要使物块能通过两狭缝，薄盘转动的角速度ω为：（8kπ+$\frac{4}{3}$π ）rad/s，k=0、1、2…．
（3）物块返回后能再次通过两狭缝．

点评 本题是动能定理和圆周运动运动学公式的综合，关键是抓住圆周运动的周期性得到角速度的表达式，要注意球来回经过圆弧滑动摩擦力做功是不同的．