Question

如图所示，在粗糙的水平面上放有质量为M=0.3kg的绝缘长木板，有一质量为m=0.2kg，带电量为q=+4×10^-5C的小滑块（可视为质点）正沿木板的上表面向左运动．木板左端有一个固定在水平面上的四分之一光滑圆形绝缘轨道AB与之相接，轨道的最低点B点与木板的上表面相切．整个空间加有一个方向竖直向下、场强大小为E=5×10⁴N/C的匀强电场．已知滑块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.25，木板与水平面间的动摩擦因素为μ₂=0.1，滑块在木板上向左运动至距离B点x=0.3m处时速度大小为v₀=2

3

m/s．（g取10m/s²）
求：
（1）滑块通过木板滑上固定的光滑圆形轨道AB，沿轨道AB上升的最大高度H；
（2）滑块沿轨道AB返回运动至B点的速度v_B的大小；
（3）滑块沿轨道AB返回运动滑上木板，要使滑块不从木板上掉下来，木板的长度L至少应为多少？
（4）在满足（3）的条件下，求滑块停止运动时与B点的距离△x是多少？

Answer 1

分析：（1）对于滑块上升到最高点过程，重力、电场力、摩擦力做功，根据动能定理求出滑块上升的最大高度H；
（2）滑块从开始运动到返回至B点处过程，摩擦力和电场力做功，再由动能定理求解速度v_B的大小；
（3）滑块沿轨道AB返回运动滑上木板，滑块做匀减速运动，木块做匀加速运动，当两者速度相等时，两者所走的位移之差即为木板的长度的最小值．由牛顿第二定律和运动学公式结合求解．
（4）由几何关系求出滑块停止运动时与B点的距离△x．

解答：解：（1）对于滑块上升到最高点过程根据动能定理得：
  -μ1(qE+mg)?x-(qE+mg)?H=0-

1

2

m

v

2 0

解得：H=

m v 2 0

2(qE+mg)

-μ1x=0.225m
（2）对于滑块从开始运动到返回至B点处过程根据动能定理得：
  -μ1(qE+mg)?x=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

解得：vB=

v 2 0 - 2μ1(qE+mg)?x m

=3m/s
（3）滑块又滑上木板后做匀减速运动，滑块的加速度为a₁=

μ1(mg+qE)

m

=5m/s²．
由于f₁=μ₁（mg+qE）=2N，f₂=μ₂（qE+mg+Mg）=0.7N，则μ₁（mg+qE）＞μ₂（qE+mg+Mg），所以木板由静止开始做匀加速运动，加速度大小为
  a₂=

f1-f2

M

=1m/s²，
设两者经过时间t速度相等，则  v_B-a₁t=a₂t，解得，t=0.5s
速度相等之后，滑块与木板相对静止做匀减速运动直至停止．那么速度相等时，两者所走的位移之差即为木板的长度的最小值，
则在两者相对滑动的过程中，滑块的位移为s₁=vBt-

1

2

a1t2，木板的位移为s₂=

1

2

a2t2
木板的长度的最小值为：L=△s=s₁-s₂，
代入解得，△s=0.75m．
（4）速度相等之后，根据动能定理得
-μ₂（mg+Mg+F）s_共=0-

1

2

(M+m)v2
又 v=a₂t．
解得，s_共=

5

56

m
（4）滑块停止运动时与B点的距离△x=s1+s共=

7

8

+

5

56

=

27

28

m
答：（1）滑块通过木板滑上固定的光滑圆形轨道AB，沿轨道AB上升的最大高度H为0.225m；
（2）滑块沿轨道AB返回运动至B点的速度v_B的大小是3m/s；
（3）滑块沿轨道AB返回运动滑上木板，要使滑块不从木板上掉下来，木板的长度L至少应为0.75m．
（4）在满足（3）的条件下，滑块停止运动时与B点的距离△x是

27

28

m．

点评：本题的关键要耐心细致地分析物体的运动过程，根据木板所受的滑动摩擦力与最大静摩擦力的关系，判断木板的运动状态，运用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式结合进行处理．