Question

如图7-7-5所示，离地高为H的物体A通过跨在定滑轮上的轻绳与放在光滑水平桌面上、质量和A相同的物体B连接，由静止开始下落和从同一高度单独自由下落这两种情况下，A离地面的高度h分别为多少时，它的动能与势能相等？（设B没有滑离桌面）

图7-7-5

Answer 1

A物体动能与势能相等时离地面的高度分别为和.

解析:

当物体A单独自由下落时，由于只有重力做功，A的机械能守恒.当A通过绳子连接B后再下落时，若选A（包括地球）为研究对象，则绳对A的拉力是系统之外的力，而且该力对A做了功，则A的机械能不守恒；若以A、B连接体（包括地球）组成的系统为研究对象时，绳的拉力为内力，且对A和B做功的代数和为零，B物体在竖直方向上所受的一对平衡力没有做功，故该系统在运动过程中只有A的重力做功，满足机械能守恒的条件.因此本题可运用机械能守恒定律求解：

取地面为零势能参考平面，设A离地高度为h时，其动能等于势能，则有

当A物体单独自由下落时，初始机械能为E₁=mgH，末态时机械能为，由机械能守恒E₂=E₁得mgH=2mgh.

所以

当A通过绳子连接B后再由静止下落时，设桌面高为H′，则初态系统的机械能为E₁=mgH+mgH′，末了状态系统的机械能为，根据机械能守恒定律得E₂=E₁，即

将代入上式，解得

即两种情况下，A物体动能与势能相等时离地面的高度分别为和.