Question

如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.1m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v₀=10⁵m/s，比荷

q

m

=10⁸C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变．求：

（1）带电粒子刚好从极板边缘射出时两金属板间的电压；
（2）带电粒子进入磁场时粒子最大速度的大小；
（3）证明：任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值，并计算两点间的距离．

Answer 1

分析：（1）将带电粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，水平方向为匀速运动，竖直方向为初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式列式求解；
（2）带电粒子从平行板边缘射出时，电场力做功最多，获得的动能最大，根据动能定理列式求解；
（3）经过电场偏转后，粒子速度向上偏转或向下偏转，画出可能的两种轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力得到轨道半径，通过几何关系得到向上偏转的距离表达式进行分析．

解答：解：（1）设带电粒子刚好从极板边缘射出电场时电压为U

d

2

=

1

2

at2             
a=

Eq

m

=

Uq

dm

t=

l

v0

解得
U=25V
即带电粒子刚好从极板边缘射出时两金属板间的电压为25V．
（2）带电粒子刚好从极板边缘射出电场时速度最大，设最大速度为v_m，由动能定理

qU

2

=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

vm=5

5

×104m/s
即带电粒子进入磁场时粒子最大速度的大小为5

5

×104m/s．
（3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，其可能的两种轨迹如图；

设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ
则任意时刻粒子进入磁场的速度大小v=

v0

cosθ

粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为RR=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

  
设带电粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离为l，l=2Rcosθ=

2mv0

qB

由上式可知，射出电场的任何一个带电粒子，进入磁场时的入射点与射出磁场时的出射点间距离为定值，l与θ无关，与所加电压值无关        
两点间的距离为：l=0.4m，
故任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值，两点间的距离为0.4m．

点评：本题关键是画出粒子进入磁场后的各种可能的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力列式后得出半径和周期，然后求出磁偏转的距离表达式，从而得到磁偏转的范围．