Question

【题目】用一弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果，已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G，将地球视为质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。

（1）在地球北极地面和上空高出地面h处称量，得到弹簧测力计的读数分别为、，且它们的比值为，求的值；

（2）若在赤道地面称量，弹簧测力计的读数为，求比值的表达式；

（3）设想同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r，地球的半径R二者均减小为现在的0.5倍，而地球的密度均匀且不变，仅考虑地球和卫星间的相互作用，该同步卫星的运动周期将变为多长？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）同步卫星的运动周期不变，仍为地球的自转周期T

【解析】

（1）在地球北极点自转的半径为零，则弹簧测力计所称得的重力为其万有引力，有

①

②

联立上式可得

（2）赤道位置，万有引力为重力和自转向心力的合力，有

③

联立①③可得

（3）同步卫星的周期等于地球的自转周期，即为T，设同步卫星的质量为m，R，r未有变化时有

④

R、r变化后有

⑤

其中，，

联立④⑤，代入解得

即该同步卫星的运动周期不变。