Question

一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管中有两个直径略小于细管内径的小球（可视为质点）A、B，A球质量为m₁，B球质量为m₂，它们沿圆管顺时针运动，经过圆管最低点时速度都是v₀，若某时刻A球在圆管最低点时，B球恰好在圆管最高点，两球作用于圆管的合力为零，求m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式．

Answer 1

分析：根据题意，分析物理情景．A球对圆管的压力向下．为使两球作用于圆管的合力为零，B球对圆管的作用力只能向上，所以轨道对B球的作用力方向向下．对A、B两球用牛顿第二定律分别列出方程，根据管对两球的作用力N₂与N₁等值反向，得到速度的关系式．再结合机械能守恒定律，就能得到m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式．

解答：解：如图所示，A球运动到最低点时速度为V₀，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N₁的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得N₁-m₁g=m₁

v 2 0

R

①
   这时B球位于最高点，设速度为V₁，B球受向下重力m₂g和细管弹力N₂作用．球作用于细管的力是N₁、N₂的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N₂与N₁等值反向，N₁=N₂ ②，且N₂方向一定向下，
   对B球：N₂+m₂g=m₂

v 2 1

R

③B球由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒定律，得：
　 即

1

2

m₂V₁²+m₂g?2R=

1

2

m₂V₀² ④
　 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R与V₀满足的关系式是：
　 （m₁-m₂）

v 2 0

R

+（m₁+5m₂）g=0 ⑤
答：m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式为 （m₁-m₂）

v 2 0

R

+（m₁+5m₂）g=0

点评：本题的关键语句：A球在圆管最低点时，B球恰好在圆管最高点，两球作用于圆管的合力为零．这是解题的突破口．综合题的基础还是对两球运动的分析和受力的分析．