Question

4．从地面以初速度v₀竖直向上抛出一质量为m的小物体．假定物块所受的空气阻力f大小不变．已知重力加速度为g．求：
（1）物体上升的最大高度h．
（2）物体在空中飞行的时间t和落回地面的速率v．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出上升过程的加速度，由速度位移公式求上升的最大高度；
（2）根据牛顿第二定律求出下降过程的加速度，再由运动学公式求物体在空中飞行的时间t和落回地面的速率v

解答 解：（1）小物体上升过程中，对小物体受力分析，根据牛顿第二定律，有
$mg+f=m{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=g+\frac{f}{m}$
根据速度位移公式：${v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{a}_{1}^{\;}h$
解得：$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（g+\frac{f}{m}）}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（1+\frac{f}{mg}）}$
（2）上升过程的时间${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{g+\frac{f}{m}}$
下降过程，根据牛顿第二定律，有：$mg-f=m{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}=g-\frac{f}{m}$
根据$h=\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$，得${t}_{2}^{\;}=m{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{（mg+f）（mg-f）}}$
小球在空中飞行的时间$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{mg+f}+m{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{（mg+f）（mg-f）}}$
根据${v}_{\;}^{2}=2{a}_{2}^{\;}h$
代入数据：$v={v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}$
答：（1）物体上升的最大高度h为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（1+\frac{f}{mg}）}$．
（2）物体在空中飞行的时间t为$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{mg+f}+m{v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{1}{（mg+f）（mg-f）}}$和落回地面的速率v为${v}_{0}^{\;}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}$

点评 在上升和下降的过程中，小球受到的阻力的方向是不同的，根据小球的受力，由牛顿第二定律求得加速度的大小，根据运动学的规律求解即可