Question

17．如图所示，真空中有一以（r，O）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，在y≤一r的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E．从0点向不同方向发射速率相同的电子，电子的运动轨迹均在纸面内．已知电子的电量为e，质量为m，电子在磁场中的偏转半径也为r，不计重力及阻力的作用，求：
（1）电子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，到达y轴所需的时间；
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的电子，到达y轴的位置到原点O的距离．

Answer 1

分析 （1）质子射入磁场后，洛伦兹力提供向心力，由牛顿运动定律求解．
（2）沿x轴正方向射入磁场的质子，在磁场中运动$\frac{1}{4}$圆周，求出周期，并求出在磁场中运动的时间．质子进入电场做类平抛运动，根据水平方向偏转距离等于圆周运动的半径求解时间．
（3）画出轨迹，由几何知识求出质子出磁场时的位置到y轴的距离，由牛顿定律和运动学公式求出距离．

解答 解：（1）电子射入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{eBr}{m}$；
（2）电子沿x轴正方向射入磁场经$\frac{1}{4}$圆弧后，以速度v垂直于电场方向进入电场，
由于：T=$\frac{2πm}{eB}$，电子在磁场中运动的时间为：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2eB}$，
电子进入电场后做类平抛运动，沿电场方向运动r后达到y轴，因此有
r=$\frac{1}{2}$at₂²，解得：t₂=$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$，
所求时间为：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）电子在磁场中转过120°角后从P点垂直电场方向进入电场，如图所示：

P点距y轴的距离为：r₁=r+rsin30°=1.5r，
设电子从进入电场到达到y轴所需时间为t₃，则
由x₁=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t₃²，解得：t₃=$\sqrt{\frac{3mr}{eE}}$，
在y方向上电子做匀速直线运动，因此有：y=vt₃，解得：y=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$，
所以，电子到达y轴的位置与原点O的距离为：r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$；
答：（1）电子射入磁场时的速度大小为$\frac{eBr}{m}$；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，到达y轴所需的时间为$\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）速度方向与x轴正方向成30°角（如图中所示）射入磁场的电子，到达y轴的位置到原点O的距离为r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$．

点评 本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，处理方法不同：电场中粒子做类平抛运动，运用运动的合成与分解．在磁场中做匀速圆周运动，画轨迹，用牛顿定律和圆周运动知识处理．