Question

6．在水平地面上平放一质量为M=2kg的木板，木板左端紧靠一带有光滑圆弧轨道的木块，木块右端圆弧轨道最低点与木板等高，木块固定在水平地面上，已知圆弧轨道的半径为R=5.5m，木板与地面间的动摩擦因式μ₂=0.3，圆弧轨道的最高点B距离木板上表面的高度为h=2.2m，木块的左侧空间存在大小为4×10⁵N/C，方向竖直向下的匀强电场（图中没有画出），现从木块的左侧距离木板上表面的高度为H=6.2m处，以v₀=6m/s的水平速度抛出一可视为质点的质量为m=1kg，带电量为q=-5×10^-6C的带电物块，物块从圆弧轨道的最高点B沿切线方向进入轨道，如图所示，假设物块与木板间的动摩擦因数为μ₁=0.8，重力加速度g=10m/s²，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．
（1）求物块刚进入圆弧轨道瞬间的速度；
（2）求物块刚到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小；
（3）为了使物块始终在木板上滑动，则木板的长度应满足什么条件？
（4）若木板长为9m，且木板与地面间的动摩擦因数μ₂=$\frac{4}{30}$，物块能否滑出木板？木板最终停在距离木块多远处？

Answer 1

分析 （1）研究物块类平抛运动过程，根据下落的高度求出物块到达B点时竖直分速度，由速度的合成求物块刚进入圆弧轨道瞬间的速度；
（2）从抛出点到圆弧最低点的过程，由动能定理求物块到达最低点的速度．再由牛顿定律求物块刚到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力；
（3）根据木板的受力情况，分析出物块在木板上滑行时木板不动．由动能定理求木板的长度；
（4）再根据木板的受力情况，判断出木板会滑动，由牛顿第二定律求出两个物体的加速度．由速度时间公式求出两者速度相等时所经历的时间，求相对位移，从而求解木板的总位移．

解答 解：（1）物块做类平抛运动，加速度为 a=$\frac{mg-qE}{m}$=10-$\frac{5×1{0}^{-6}×4×1{0}^{5}}{1}$=8m/s²；
进入圆弧轨道瞬间竖直分速度 v_y=$\sqrt{2a（H-h）}$=$\sqrt{2×8×（6.2-2.2）}$=8m/s
进入圆弧轨道的速度 v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=10m/s
速度方向与水平面的夹角为θ，则 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，得 θ=53°
（2）从抛出点到圆弧最低点的过程，由动能定理得
   mgH-qEH=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₂=12m/s
在最低点，有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得 F_N=36.2N
根据牛顿第三定律知，物块刚到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力 F_N′=F_N=36.2N
（3）物块滑上木板后，物块对木板的摩擦力 f=μ₁mg=8N，木板与地面间接最大静摩擦力为 f_m=μ₂（M+m）g=9N
因为 f＜f_m，所以物块在木板上滑动时，木板静止不动
设木板的长度为L．
根据动能定理得-fL=-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得 L=9m
（4）木板与地面间的动摩擦因数μ₂=$\frac{4}{30}$时，木板与地面间接最大静摩擦力为  f_m=μ₂（M+m）g=4N＜f，则物块在木板上滑动时，木板也滑动，两者加速度分别为
  a₁=$\frac{f}{m}$=$\frac{8}{1}$=8m/s²；  a₂=$\frac{f-{f}_{m}}{M}$=$\frac{8-4}{2}$=2m/s²；
设从滑上木板到两者速度相等的时间为t，则
   v=v₂-a₁t=a₂t
解得 t=1.2s，v=2.4m/s
两者的相对位移为△x=$\frac{{v}_{2}+v}{2}t$-$\frac{v}{2}t$=$\frac{{v}_{2}}{2}t$=$\frac{12}{2}×1.2$m=7.2m＜9m
所以物块不会滑出木板
从滑上木板到相对静止木板的位移 x₁=$\frac{v}{2}t$=$\frac{2.4}{2}×1.2$m=1.44m
物块与木板共速后一起滑行的距离设为x，则由动能定理得
-μ₂（M+m）gx₂=0-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得 x₂=2.16m
故木板运动的总位移 x=x₁+x₂=1.44+2.16=3.6m
答：
（1）物块刚进入圆弧轨道瞬间的速度是10m/s；方向与水平方向成53°．
（2）物块刚到达圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小是26.2N；
（3）为了使物块始终在木板上滑动，则木板的长度应满足的条件L≥9m；
（4）若木板长为9m，且木板与地面间的动摩擦因数μ₂=$\frac{4}{30}$，物块不能滑出木板，木板最终停在距离木块3.6m．

点评 解决本题的关键要理清物块的受力情况和运动情况，把握每个过程的物理规律，当物体间有相对运动时，要注意分析速度相等的状态．