Question

2．如图所示，已知倾角为θ=45°、高为h的斜面固定在水平地面上．一小球从高为H（h＜H＜$\frac{5}{4}$h）处自由下落，与斜面做无能量损失的碰撞后水平抛出，小球自由下落的落点距斜面左侧的水平距离x满足一定条件时，小球能直接落到水平地面上，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球落到地面上的速度大小为$\sqrt{2gH}$
• B． x应满足的条件是H-h＜x＜h
• C． x应满足的条件是h-0.8H＜x＜h
• D． x取不同值时，小球在空中运动的时间不变

Answer 1

分析 由于小球与斜面碰撞无能量损失，自由下落和平抛运动机械能也守恒，所以小球整个运动过程中机械能守恒，据此列式求解小球落到地面上的速度大小；小球与斜面碰撞后做平抛运动，当正好落在斜面底端时，x最小，根据平抛运动的基本公式结合几何关系、动能定理求出x的最小值，而x的最大值即为h，从而求出x的范围；

解答 解：A、设小球落到地面的速度为v，根据机械能守恒定律$mgH=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，得$v=\sqrt{2gH}$，故A正确；
BC、小球做自由落体运动的末速度为${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2g（H-h+x）}$，小球做平抛运动的时间为$t=\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$
水平位移$s={v}_{0}^{\;}t=\sqrt{2g（H-h+x）}•\sqrt{\frac{2（H-x）}{g}}$=$2\sqrt{（H-h+x）（H-x）}$
由s＞h-x，解得h-0.8H＜x＜h，故B错误，C正确；
D、自由下落的时间${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}$，平抛的时间${t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，在空中的总时间$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，x取不同的值小球在空中的时间不同，故D错误；
故选：AC

点评 本题是机械能守恒与自由落体运动、平抛运动的综合，既要把握每个过程的物理规律，更要抓住它们之间的联系，比如几何关系，运用数学上函数法求解极值．