小明跟着爸爸荡秋千的情景如图所示．设摆绳长为3m，悬点在横梁上，小明连同底板质量共为60kg．开始时小明在爸爸的外力作用下使摆绳与竖直方向成37°角处于静止状态．某时刻爸爸放手让秋千由静止开始摆动，假设摆动过程中，小明与底板始终没有相对运动．当他运动到最低点时摆线拉力共为780N．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小明爸爸施加的最小外力；
（2）取悬点处为零势能参考平面，放手前小明及底板的重力势能；
（3）通过计算说明秋千第一次摆到另一侧的最大偏角与37°的关系．

解：

（1）如图所示，当外力与摆绳垂直时最小．F_min=mgsin37°=360N
（2）E_p=-mglcos37°=-1440J
（3）设小明第一次向下摆动过程中，动能的变化量为△E_K，重力势能的变化量为△E_GP
小明在最低点时，由牛顿第二定律得：
$\text{[math]}$
解得υ=3m/s
经过最低点，小明与底板的动能为 $\text{[math]}$
小明与底板重力势能的减小量为△E_Gp=360J，则有△E_GP＞△E_K
说明小明在向下摆动过程中机械能减少，秋千第一次摆到另一侧的最大偏角小于37°．
答：
（1）小明爸爸施加的最小外力是360N；
（2）取悬点处为零势能参考平面，放手前小明及底板的重力势能是-1440J；
（3）秋千第一次摆到另一侧的最大偏角小于37°．
分析：（1）当小明爸爸施加的最小外力方向与摆绳垂直时，外力最小．根据平衡条件求解最小的外力．
（2）取悬点处为零势能参考平面，确定出放手前小明及底板到悬点的高度，由于放手前小明及底板在悬点的下方，其重力势能为负值．
（3）根据小明运动到最低点时摆线拉力共为780N，由牛顿第二定律小明经过最低点时的速度，分析在这个过程中有无空气阻力．若存在阻力，小明在向下摆动过程中机械能减少，秋千第一次摆到另一侧的最大偏角将小于37°．
点评：本题第（1）问可以用作图法分析最小值的条件，也可以在理解的基础上加强记忆．重力势能要注意正负号，物体位置低于参考平面时，其重力势能为负值．

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【小题1】秋千静止时，小明爸爸施加的最小外力；
【小题2】取最低点为零势能参考平面，放手前小明及底板的重力势能；
【小题3】通过计算说明秋千第一次摆到另一侧与竖直方向的最大偏角是否能达到37°?

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