Question

10．如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨MAC、NBD水平放置，MA、NB间距L=0.4m，AC、BD的延长线相交于E点且AE=BE，E点到AB的距离d=6m，M、N两端与阻值R=2Ω的电阻相连．虚线右侧存在方向与导轨平面垂直向下的匀强磁场，磁感应强度B=1T．一根长度也为L=0.4m、质量m=0.6kg、电阻不计的金属棒，在外力作用下从AB处以初速度υ₀=2m/s沿导轨水平向右运动，棒与导轨接触良好，运动过程中电阻R上消耗的电功率不变．求：

（1）电路中的电流I；
（2）金属棒向右运动$\frac{d}{2}$过程中克服安培力做的功W；
（3）金属棒向右运动$\frac{d}{2}$过程中外力做功的平均功率P．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv可求得电动势；由欧姆定律可求得电路中的电流；
（2）根据导体切割的有效长度可得出安培力的表达式，利用F-x图象，借助v-t图象的规律可由图象求得安培力的功；
（3）由电功公式可求得运动的时间；根据电功率不变则可得出电动势的表达式；则由动能定理可求得外力做功的功率．

解答 解：（1）金属棒开始运动时产生感应电动势E=BLv₀=1×0.4×2=0.8V；
电路中的电流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{0.8}{2}$A=0.4A；
（2）金属棒向右运动运动距离为x时，金属棒接入电路的有效长度为L₁，由几何关系可得：
$\frac{d-x}{d}$=$\frac{{L}_{1}}{L}$
L₁=$\frac{L（d-x）}{d}$=0.4-$\frac{x}{15}$
此时金属棒所受安培力为：F=BIL₁=0.16-$\frac{2x}{75}$（0≤x$≤\frac{d}{2}$）
作出F-x图象，由图象可得运动$\frac{d}{2}$过程中确服安培力所做的功为：
W=$\overline{F}$x=$\frac{0.16+0.08}{2}×3$=0.36J；
（3）金属棒运动 $\frac{d}{2}$过程所用时间为t，W=I²Rt；
解得：t=$\frac{9}{8}$s；
设金属棒运动的$\frac{d}{2}$的速度为v，由于电阻R上消耗的电功率不变；
则有：
BLv₀=B$\frac{L}{2}$v；
v=2v₀
由动能定理可得：
Pt-W=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：P=$\frac{W+\frac{3}{2}m{v}_{0}^{2}}{t}$
代入数据解得：P=3.52W．

答：（1）电路中的电流I为0.4A；
（2）金属棒向右运动$\frac{d}{2}$过程中克服安培力做的功W为0.36J；
（3）金属棒向右运动$\frac{d}{2}$过程中外力做功的平均功率P为3.52W．

点评 本题中第二小题要注意该方法的正确应用，根据v-t图象结论的迁移应用可直接求出面积所表示的意义．