Question

4．质量为m的卫星发射前静止在地球赤道表面．假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R．
（1）已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．求此时卫星对地表的压力N的大小；
（2）卫星发射后先在近地轨道上运行（轨道离地面的高度可以忽略不计），运行的速度大小为v₁，之后经过变轨成为地球的同步卫星，此时离地面高度为H，运行的速度大小为v₂．
a．求比值$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$；
b．若卫星发射前随地球一起自转的速度大小为v₀，通过分析比较v₀、v₁、v₂三者的大小关系．

Answer 1

分析 （1）卫星静止在地球上，随地球一起做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求解卫星对地表的压力N的大小；
（2）a、卫星围绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力求出线速度之比；
b、同步卫星与地球自转的角速度相等，而半径大于地球半径，据此分析v₀和v₂的关系，结合a的结论分析三者之间的关系．

解答 解：（1）卫星静止在地球上，随地球一起做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-N′=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：N′=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
根据牛顿第三定律可知卫星对地表的压力N的大小为：
N=N′=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
（2）a、卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
$G\frac{Mm}{{（R+H）}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{（R+h）}$，
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{R+H}{R}}$
b、同步卫星与地球自转的角速度相等，而半径大于地球半径，根据v=ωr可知，v₂＞v₀，而v₁＞v₂，所以v₁＞v₂＞v₀.\
答：（1）此时卫星对地表的压力N的大小为$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（2）a．$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$的值为$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$；
b．v₀、v₁、v₂三者的大小关系为v₁＞v₂＞v₀．

点评 本题考查万有引力在天体运动中的应用，要注意分清是卫星是绕地球运动，还是静止在地面上，明确在地球上与卫星运动向心力是不同的．