Question

20．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥，如图所示，桥面为圆弧形的立交桥AB，横跨在水平路面上，跨度为L=200m，桥高h=20m．可以认为桥的两端A、B与水平路面的连接处是平滑的．一辆小汽车的质量m=1040kg，以v=25m/s的速度冲过圆弧形的立交桥的顶点，小汽车与桥面的动摩擦因素μ=0.4．试计算：（g取10m/s²）
（1）小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小．
（2）小汽车在桥顶处所受的摩擦力的大小．

Answer 1

分析 （1）已知桥长为L=200m，桥高h=20m，根据几何知识求出桥面圆弧的半径．以汽车为研究对象，根据牛顿第二定律求出桥面对汽车的支持力，再由牛顿第三定律得到汽车在桥顶处对桥面的压力的大小．
（2）当汽车恰好飞离桥面顶点时，由滑动摩擦力的计算公式即可求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）设桥面圆弧的半径为R．
由几何关系得：R²=（R-h）²+（$\frac{1}{2}$L）²
解得：R=260m
以汽车为研究对象，由牛顿第二定律得：
  mg-F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：F_N=7900N
由牛顿第三定律得车对桥面的压力为：F_N′=F_N=7900N
（2）小汽车在桥顶处所受的摩擦力的大小f=μF_N=0.4×7900N=3160N
答：（1）小汽车在桥顶处对桥面的压力的大小是7900N．
（2）小汽车在桥顶处所受的摩擦力的大小是3160N．

点评 该题考查竖直平面内的圆周运动的问题，汽车通过圆弧形桥面时做圆周运动，由重力和支持力的合力提供汽车的向心力．