Question

如图所示，水平圆盘半径为R，可绕过圆盘中心的竖直轴转动，在圆盘的边缘用长为R的细线拴着质量为m的小球，圆盘静止时小球离地面高度为

3

2

R，拴小球的细线能承受的最大拉力为

2

3

3

mg，现让圆盘转动的角速度缓慢增加，求：①细线欲断不断时圆盘转动的角速度为多大？②细线断开后小球落地点到转轴的距离为多少？（结果保留根号）

Answer 1

分析：（1）让圆盘转动的角速度缓慢增加，细线与竖直方向的夹角缓慢增大，细线的拉力缓慢增大，细线能承受的拉力最大时，细线与竖直方向的夹角达到最大．由重力和细线的拉力的合力提供小球的向心力，根据牛顿第二定律求解角速度．
（2）细线断开后小球做平抛运动，由离地的高度求出运动时间，求出水平位移，由几何知识求出球落地点到转轴的距离．

解答：解：（1）设细线的拉力恰好达到最大时与竖直方向的夹角为α，此时，小球圆周运动的半径为r=R+Rsinα．
∵cosα=

mg

T

=

3

2

∴α=30°，所以r=

3

2

R
根据牛顿第二定律得
   mgtan30°=mω²r
解得ω=

1

3

2 3 g R

（2）细线断开后小球做平抛运动，初速度为v=ωr=

2 3 gR

2

高度h=R+

3

2

R-Rcos30°=R
则平抛运动的时间为t=

2R g

，水平位移x=vt

3

R
根据几何知识得到，细线断开后小球落地点到转轴的距离为
   S=

x2+(1.5R)2

=

3 + 9 4

R
答：
①细线欲断不断时圆盘转动的角速度为ω=

1

3

2 3 g R

．
②细线断开后小球落地点到转轴的距离为

3 + 9 4

R．

点评：本题是圆锥摆与平抛运动的综合应用问题．容易产生错误的地方有两点：一是圆锥摆的半径，二是小球落地点到转轴的距离．