Question

4．如图，空间有一水平向右的有界匀强电场，上下宽度l=12cm，沿电场线上的A、B两点间的距离d=8cm，AB两点间的电势差U_AB=160V．一带正电的粒子，电量q=5.0×10^-10C，质量m=1.0×10^-20kg，从电场的上边界R点沿电场的垂线RO飞入电场，初速度v₀=3×10⁶m/s．粒子从电场的下边界飞出电场后，经过无场区域进入水平界面为MN、PQ的匀强磁场区域，从磁场的PQ边界出来后刚好打在直线RO上离PQ边界L处的S点上，且电场的下边界到界面MN的距离以及两界面MN与PQ间的距离均为L．已知粒子进入界面MN时偏离直线RO的距离为24cm，粒子重力不计．求：
（1）粒子射出电场时速度v的大小；
（2）磁场两界面MN与PQ间的距离L；
（3）画出粒子的运动轨迹，并求出匀强磁场的磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，将运动分解成水平方向和竖直方向，即可求出速度；
（2）结合（1）中求得的时间与速度，求出粒子从电场中飞出时的侧向位移为h，和进入界面MN时偏离中心线RO的距离为y，带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，由相似三角形知识求得L；
（3）设粒子从电场中飞出时的速度方向与竖直方向的夹角为θ，根据速度关系求出夹角，然后画出轨迹如图 由几何知识可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径，结合洛伦兹力提供向心力的公式，即可求得．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，则$a=\frac{qE}{m}=\frac{qU}{md}$，$t=\frac{l}{v_0}$
水平方向的速度${v_y}=at=\frac{qUl}{{md{v_0}}}$
代入数据，解得：
v_y=4×10⁶m/s
所以粒子从电场中飞出时速度的大小为：$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$=5×10⁶m/s
（2）设粒子从电场中飞出时的侧向位移为h，进入界面MN时偏离中心线RO的距
离为y，则：
h=$\frac{1}{2}a{t^2}$
即：$h=\frac{qU}{2md}{（{\frac{l}{v_0}}）^2}$
代入数据，解得：
h=8cm 
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，由相似三角形知识得：
$\frac{h}{y}=\frac{{\frac{l}{2}}}{{\frac{l}{2}+L}}$
代入数据，解得：
L=12cm
（3）设粒子从电场中飞出时的速度方向与
竖直方向的夹角为θ，则：
tanθ=$\frac{v_y}{v_0}$=$\frac{4}{3}$
解得：
θ=53°
轨迹如图所示：
由几何知识可得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径：
R=$\frac{\frac{L}{2}}{sinθ}=7.5cm$
由牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
代入数据，解得：
B=$\frac{4}{3}$×10^-3T
答：（1）粒子射出电场时速度v的大小是5×10⁶m/s；
（2）磁场两界面MN与PQ间的距离是12cm；
（3）画出粒子的运动轨迹，并求出匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{4}{3}$×10^-3T．

点评 该题将带电粒子在电场中的运动与带电粒子在磁场中的运动结合起来，要分别按照电场中运动的解题的步骤与磁场中解题的步骤，进行规范化的答题即可．其中画出带电粒子运动的轨迹是解题的关键．