Question

3．如图所示，在xoy平面内，直线PQ平分第二、四象限（即与y轴成45°），直线PQ左侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场，PQ上侧且y＞0空间存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=10V/m；一个比荷$\frac{q}{m}$=10³C/kg的带负电的粒子（重力不计），从坐标原点O以v₀=200m/s的速度沿着x轴负方向进入匀强磁场，粒子从O点入射后，最后从x轴上N点射出电场，方向恰好与x轴正方向成45°，求：
（1）粒子第一次经过直线PQ时速度的大小和方向；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）N点离O点的距离和粒子在电场中的时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做圆周运动，根据左手定则判断出偏转的方向，然后画出运动的轨迹，即可确定；
（2）最后从x轴上N点射出电场，方向恰好与x轴正方向成45°，结合速度的分解，求出y方向的高度，从而确定粒子在磁场中运动的半径，最后又洛伦兹力提供向心力即可求出磁感应强度；
（3）粒子进入电场后做类平抛运动，根据轨迹求出微粒抛出点的高度和电场力产生的加速度，由运动的合成与分解求解微粒进入电场后在电场中运动的水平位移和时间．

解答 解：（1）微粒在磁场中受洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，画出轨迹如图，

可知，粒子先做$\frac{1}{4}$圆周运动，然后在电场中在电场力作用下先向上匀减速然后向下匀加速，
离开电场时速度大小与进入时大小相等．然后在磁场中做$\frac{3}{4}$圆周运动，最后以垂直于电场方向的速度再进入电场作类平抛运动．
所以，粒子第一次经过直线PQ时速度的大小仍然是200m/s，方向竖直向上．
（2）粒子在电场中的加速度：a=$\frac{qE}{m}=1{0}^{3}×10=1{0}^{4}$m/s²，
粒子第二次离开磁场在电场中做类平抛运动时抛出点高度h=2R，所以粒子在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，故沿电场方向的分速度：
v_y=at₂
由于粒子从x轴上N点射出电场，方向恰好与x轴正方向成45°，所以：v_y=v₀tan45°=v₀=200m/s
得：${t}_{2}=\frac{{v}_{y}}{a}=\frac{200}{1{0}^{4}}=0.02$s
有：h=$\frac{1}{2}$$a{t}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}×1{0}^{4}×0.0{2}^{2}m=2$m，
则R=1m
粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{200}{1{0}^{3}×2}T=0.2$T
（3）粒子在水平方向的位移：x=v₀t₂=200×0.02m=4m
结合几何关系可知，N点的位移：x_N=x-2R=4m-2×1m=2m
粒子第一次经过直线PQ时速度的大小仍然是200m/s，方向竖直向上，粒子先向上匀减速然后向下匀加速，运动的时间：
${t}_{1}=\frac{△v}{a}=\frac{2{v}_{0}}{a}=\frac{2×200}{1{0}^{4}}s=0.04$s
可得粒子在电场中运动时间：t=t₁+t₂=0.04s+0.02s=0.06s，
答：（1）粒子第一次经过直线PQ时速度的大小是200m/s，方向竖直向上；
（2）磁感应强度B的大小是0.2T；
（3）N点离O点的距离是2m，粒子在电场中的时间是0.6s．

点评 解决本题的关键是掌握带电微粒在匀强磁场中做匀速圆周运动，知道周期及半径公式，微粒在电场中可以做匀变速直线运动或抛体运动，熟练掌握运动规律是解决问题的基础．