Question

12．研究小组利用图示装置探究小物块在斜面上的运动．木板OA长度L=3.75m，可绕轴O在竖直平面内转动，它与水平面的夹角记为θ；小物块的质量m=0.1kg，与木板之间的动摩擦因数μ=0.25，开始时小物块静置于O端．大小为1N、方向始终平行于木板的力F作用于小物块上（取g=10m/s²，sin37°=0.6）．求
（1）θ取何值时，小物块在木板上运动的时间最长？
（2）当θ=37°时，为保证小物块不冲出木板顶端，力F的作用时间不得超过多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求的加速度，根据运动学公式求的时间，利用好三角函数关系求极值即可
（2）根据牛顿第二定律分别求出有F和撤去F时的加速度，根据匀变速直线运动的基本公式求出这两个过程的位移，根据两段位移之和为L求解

解答 解：（1）当θ=90⁰时，F-mg=0，物块动不起来，t→∞符合题意，物块在倾角为θ的斜面上运动，据牛二律有：
F-mgsinθ-μmgcosθ=ma′
根据$t=\sqrt{\frac{2L}{a′}}$，要使t最大，须使a’最小，也即（mgsinθ+μmgcosθ）最大
令sinθ+μ cosθ=y，
化简得：$y=\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ）$，其中$cosφ=\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{17}}$
临界条件为：$sin（θ+φ）=\frac{4}{\sqrt{17}}$时a=0，t→∞
则：$θ=arcsin\frac{4}{\sqrt{17}}-arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$
故满足条件的θ角范围是[$arcsin\frac{4}{\sqrt{17}}-arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$，$\frac{π}{2}$]
（2）当θ=37⁰有F作用时：F-mgsin37°-μmgcos37°=ma₁
解得：a₁=2 m/s²  
撤去F后：mgsin37°+μmgcos37°=ma₂
解得：a₂=8 m/s²       
设加速时间为t₁，减速时间为t₂，有a₁t₁=v_m=a₂t₂  又L=$\frac{1}{2}$（t₂+t₁） v_m
联立解得：${t}_{1}=\sqrt{3}$s      
答：（1）θ取[$arcsin\frac{4}{\sqrt{17}}-arccos\frac{4}{\sqrt{17}}$，$\frac{π}{2}$]时，小物块在木板上运动的时间最长？
（2）当θ=37°时，为保证小物块不冲出木板顶端，力F的作用时间不得超过$\sqrt{3}$s

点评 本题主要考查了牛顿第二定律及运动学基本公式的直接应用，抓住三角函数的极值求法