Question

17．如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L=0.1m，两板间距离 d=0.4cm，有一束相同微粒组成的带正电粒子流从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，微粒所带电荷立即转移到下极板且均匀分布在下极板上．设前一微粒落到下极板上时后一微粒才能开始射入两极板间．已知微粒质量为 m=2×10^-6kg，电量q=1×10^-8C，电容器电容为C=10^-6F．求：（g=10m/s²）
（1）为使第一个粒子能落在下板中点，则微粒入射速度v₀应为多少？
（2）以上述速度入射的带电粒子，最多能有多少落到下极板上？

Answer 1

分析 （1）根据粒子做平抛运动的规律，运用运动的合成与分解，并依据运动学公式，即可求解；
（2）根据牛顿第二定律，结合电场力表达式，与运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）第一个粒子在极板间做平抛运动，粒子能落在下极板中点故有：
水平位移：$\frac{L}{2}$=v₀t…①
竖直位移：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，…②
由①、②解得：${v}_{0}=\frac{\frac{L}{2}}{\sqrt{\frac{d}{g}}}=\frac{L}{2}\sqrt{\frac{g}{d}}=\frac{0.1}{2}\sqrt{\frac{10}{0.4×1{0}^{-2}}}m/s=2.5m/s$
（2）设以上述速度入射的带电粒子，最多能有n个落到下极板上．则第（n+1）个粒子的加速度为a，
由牛顿运动定律得：
mg-qE=ma…③
其中E=$\frac{U}{d}$=$\frac{Q}{Cd}$=$\frac{nq}{Cd}$…④
由③、④得：a=g-$\frac{n{q}^{2}}{Cmd}$…⑤
第（n+1）粒子做匀变速曲线运动：
x=v₀t=L，y=$\frac{1}{2}$at²，
y=$\frac{1}{2}$（g-$\frac{n{q}^{2}}{Cmd}$）（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²，
第（n+1）粒子不落到极板上，则y≤$\frac{d}{2}$，
即：$\frac{1}{2}$（g-$\frac{n{q}^{2}}{Cmd}$）（$\frac{L}{{v}_{0}}$）²≤$\frac{d}{2}$，
代入数据解得：n=600；
答：（1）为使第一个粒子能落在下板中点，则微粒入射速度v₀应为2.5m/s；
（2）以上述速度入射的带电粒子，最多能有600个落到下极板上．

点评 考查如何处理平抛运动的思路，掌握运动的合成与分解的方法，理解运动学公式与牛顿第二定律的综合应用．