Question

14．一颗人造地球卫星离地面高h=3R（R为地球的半径）．若已知地地球表面的重力加速度为g，则卫星做匀速圆周运动的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$，角速度是$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$，周期是$16π\sqrt{\frac{R}{g}}$，若已知地球的质量为M，万有引力常量为G，则卫星做匀速圆周运动的速度是$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$，角速度是$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，周期是$16π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供圆周运动向心力，在地球表面重力与万有引力相等列式分析求解即可．

解答 解：由题意知，卫星的轨道半径r=R+h=4R
在地球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得卫星的运动速度$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{4R}}=\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
卫星运动的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{64{R}^{3}}}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$
卫星运动的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}•64{R}^{3}}{g{R}^{2}}}$=$16π\sqrt{\frac{R}{g}}$
若已知地球的质量为M，万有引力常量为G，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得卫星的运行速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$
卫星运动的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{GM}{64{R}^{3}}}$=$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$
卫星运动的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$=$16π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
故答案为：$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$，$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$，$16π\sqrt{\frac{R}{g}}$，$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{GM}{R}}$，$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{GM}{{R}^{3}}}$，$16π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．

点评 万有引力提供圆周运动向心力，熟悉掌握万有引力及向心力的不同表达式是正确解题的关键．