Question

9．已知地球质量大约是月球质量的8l倍，地球半径大约是月球半径的4倍．不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出（　　）

• A． 地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9：8
• B． 地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9：4
• C． 靠近地球表面运行的航天器的周期与靠近月球表面运行的航天器的周期之比约为8：9
• D． 靠近地球表面运行的航天器的速度与靠近月球表面运行的航天器的速度之比约为81：4

Answer 1

分析 根据密度定义表示出密度公式，再通过已知量进行比较．根据万有引力等于重力表示出重力加速度．根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期和线速度，再通过已知量进行比较．

解答 解：A、密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍，所以地球的平均密度与月球的平均密度之比约为81：64．故A错误．
B、根据万有引力等于重力表示出重力加速度得得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，其中R为星球半径，M为星球质量．所以地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为81：16．故B错误．
C、研究航天器做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，其中R为星球半径，M为星球质量．所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8：9，故C正确．
D、研究航天器做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，其中R为星球半径，M为星球质量，所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为9：2，故D错误．
故选：C．

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．