Question

5．如图所示，有一水平放置，左右宽度不同的固定光滑导轨MNPQ、M′N′P′Q′，其中左侧导轨MNM′′N宽度为2d，右侧导轨PQP′Q′宽度为d，在MNM′N′、PQP′Q′上分别有一根导体棒ab、cd，单位长度的电阻为r₀，导体棒质量均为m，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B（图中未画出）．在t=0时刻，固定导体棒ab，在导体棒cd上施加一个水平向右的拉力F，使其向右做加速度为a的匀加速运动，在T=t₀时撤去外力，随后释放导体棒ab，ab、cd两导体棒均在导轨上运动，假设两侧导轨均足够长，导轨电阻不计，求：

（1）外力F随时间变化的关系；
（2）在0～t₀时间内通过ab棒的电荷量；
（3）释放导体棒ab后，cd棒最终速度为v₁，求ab棒的最终速度v₂及在t₀时刻后ab棒上产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出感应电动势和感应电流，由安培力公式求出安培力，由牛顿第二定律即可求出外力F随时间变化的关系式；
（2）根据运动学公式求出cd棒的位移，由感应电量公式求出在0～t₀时间内通过ab棒的电荷量；
（3）最终稳定时，回路电流为0，磁通量不变，单位时间内cd棒扫过的面积等于ab棒扫过的面积，即可得出${v}_{2}^{\;}$，根据能量守恒定律，系统减少的动能等于产生的总热量，ab棒电阻是cd棒的2倍，所以ab棒产生的热量是总热量的$\frac{2}{3}$；

解答 解：（1）ab棒电阻${R}_{1}^{\;}=2d{r}_{0}^{\;}$，
cd棒电阻${R}_{2}^{\;}=d{r}_{0}^{\;}$
在t时刻，cd棒速度v=at
电动势E=Bdv=Bdat
电流$I=\frac{E}{{R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}}=\frac{Bdat}{3d{r}_{0}^{\;}}=\frac{Bat}{3{r}_{0}^{\;}}$
cd棒受到的安培力${F}_{cd}^{\;}=BId=\frac{{B}_{\;}^{2}dat}{3{r}_{0}^{\;}}$
由牛顿第二定律$F-{F}_{cd}^{\;}=ma$，
得$F=\frac{{B}_{\;}^{2}dat}{3{r}_{0}^{\;}}+ma$
（2）当ab棒开始运动时，cd棒运动过的距离${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
由公式$q=\frac{△Φ}{{R}_{1}^{\;}+{R}_{2}^{\;}}=\frac{Bd•\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}}{3d{r}_{0}^{\;}}$，
可得$q=\frac{Ba{t}_{0}^{2}}{6{r}_{0}^{\;}}$
（3）最终回路的电流必定为零，故最终状态中单位时间内cd棒扫过的面积等于ab棒扫过的面积，即${v}_{1}^{\;}d=2{v}_{2}^{\;}d$，即${v}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{1}^{\;}$
${t}_{0}^{\;}$时刻后，回路中产生的总热量等于两棒的动能减少量，即${Q}_{总}^{\;}=\frac{1}{2}m（a{t}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{a}_{\;}^{2}{t}_{0}^{2}-\frac{5}{8}m{v}_{1}^{2}$
ab棒上产生的热量为$Q=\frac{2}{3}{Q}_{总}^{\;}=\frac{1}{3}m{a}_{\;}^{2}{t}_{0}^{2}-\frac{5}{12}m{v}_{1}^{2}$
答：（1）外力F随时间变化的关系$F=\frac{{B}_{\;}^{2}dat}{3{r}_{0}^{\;}}+ma$；
（2）在0～t₀时间内通过ab棒的电荷量$\frac{Ba{t}_{0}^{2}}{6{r}_{0}^{\;}}$；
（3）释放导体棒ab后，cd棒最终速度为v₁，ab棒的最终速度${v}_{2}^{\;}$为$\frac{1}{2}{v}_{1}^{\;}$，在t₀时刻后ab棒上产生的热量Q为$\frac{1}{3}m{a}_{\;}^{2}{t}_{0}^{2}-\frac{5}{12}m{v}_{1}^{2}$

点评 考查学生运用电磁感应，动力学和能量关系综合解题的能力，从受力分析和能量角度分析是解决电磁感应问题的常规套路．