Question

20．如图中已知R₁=R₂=…=R_n=R_n+1=$\frac{R}{2}$，R=40欧，电源电压60伏．流过R_n的电流大小是1.5×$\frac{1}{2}$^（n-1）．

Answer 1

分析 根据电路图的特点可知，（n+1）个$\frac{R}{2}$的电阻与R的关系是先串后并，可以从后向前依次分析即可得出电路中的总电阻，最后由欧姆定律即可求出电流．

解答 解：分析电路图可知，最后的三个电阻的关系是R_n与R_n+1串联后与电阻R并联，R_n与R_n+1串联后的电阻值为：${R}_{n}+{R}_{n+1}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R$
与电阻R并联后的电阻值：${R}_{并n}=\frac{R•R}{R+R}=\frac{R}{2}$
该部分与R_n-1串联后再与前面的R并联，R_并n与R_n-1串联后的电阻值也是R，所以：${R}_{并n-1}=\frac{R•R}{R+R}=\frac{R}{2}$
…
可知，每一级串联再并联后的电阻值都等于$\frac{R}{2}$，所以电路中的总电阻为$\frac{R}{2}$，即20Ω
所以电路中的总电流：I=$\frac{60}{20}$=3A
通过R₁的电流I₁=I-I_R=$3-\frac{60}{40}$=1.5A=$\frac{1}{2}I$，
同理通过R₂的电流为R₁电流的一半即I₂=I₁×$\frac{1}{2}$^（2-1）A，通过R₃的电流为R₂电流的一半即I₃=I₁×（$\frac{1}{2}$）（^3-1），…
所以通过R_n的电流是I_n=I₁$\frac{1}{2}$^（n-1）=1.5×$\frac{1}{2}$^（n-1）
故答案为：1.5×$\frac{1}{2}$^（n-1）

点评 该题属于复杂电路的化简问题，这一个电路的特点是具有一定的对称性，解答的过程中处后面开始分析，逐渐向前，总结得出电路中的总电阻值，得出电流与电阻之间的关系是解答的关键．