Question

6．如图所示，AB为半径R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接．小车质量M=3kg，车长L=2.06m，车上表面距地面的高度h=0.2m．现有一质量m=lkg的小滑块（可看成质点），由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3，当车运行了1.5s时，车被地面装置锁定．（g=10m/s²）试求：
（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小
（4）滑块落地点离车左端的水平距离．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出滑块到B端的速度，由牛顿第二定律求出支持力．
（2）根据牛顿第二定律分别求出滑块和小车的加速度，由运动式求出两者速度相同经过的时间，确定两者的运动情况．再求解车右端距轨道B端的距离．
（3）求出滑块相对于小车的位移△x，由内能E=μmg△x求出内能．
（4）滑块滑出小车后做平抛运动，求出滑块滑到A端的速度和平抛的时间，求解滑块落地点离车左端的水平距离．

解答 解：（1）设滑块到达B端时速度为v，由机械能守恒定律，得：mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
 由牛顿第二定律，得：F_N-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
联立两式，代入数值解得：F_N=3mg=30N．
（2）当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得
对滑块有：-μmg=ma₁
对小车有：μmg=Ma₂
设经时间t两者达到共同速度，则有：v+a₁t=a₂t
解得：t=1 s．                                                         
由于1 s＜1.5 s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′=a₂t=1 m/s 两者一起匀速运动，直到小车被锁定．     
故车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}+v′t′$，
代入数据解得：x=1 m．
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离为：$△x=\frac{v+v′}{2}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=2 m                                            
故产生的内能：E=μmg△x=0.3×10×2J=6 J．
（4）对滑块由动能定理，得：-μmg（L-△x）=$\frac{1}{2}mv{″}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
 滑块脱离小车后，在竖直方向有：h=$\frac{1}{2}gt{″}^{2}$
代入数据得，滑块落地点离车左端的水平距离：x′=v″t″=0.16 m．
答：（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小为30N．
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离为1m．
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小为6J．
（4）滑块落地点离车左端的水平距离为0.16m．

点评 本题之处在于分析滑块和小车速度相同所经历的时间，与1.5s进行比较来分析两者的运动情况．求摩擦生热Q=f△x，△x是相对位移．