Question

11．地球质量为M，半径为R，万有引力恒量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，该卫星的速度称为第一宇宙速度．
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据；
（2）若已知第一宇宙速度的大小为v=7.9km/s，地球半径R=6.4×10³km，万有引力恒量G=$\frac{1}{3}$×10^-10N•m²/kg²，求地球质量（结果保留两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于贴近地球表面做匀速圆周运动的速度，结合万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的表达式．
（2）结合万有引力提供向心力求出地球的质量．

解答 解：（1）设卫星质量为m，卫星在地面附近作圆周运动时的轨道半径可取为地球半径R，运行速度为v，根据卫星做圆周运动所需向心力由万有引力提供
有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得 v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）地球质量M=$\frac{{v}^{2}R}{G}=\frac{（7.9×1{0}^{3}）^{2}×6.4×1{0}^{6}}{\frac{1}{3}×1{0}^{-10}}$kg=6.0×10²⁴kg  
答：（1）第一宇宙速度的计算式为 v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）地球质量为6.0×10²⁴kg．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度环绕时轨道半径等于地球的半径．