Question

如图所示是某公园中的一项游乐设施，半径为R=2.5m、r=1.5m的两圆形轨道甲和乙安装在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道CD相连，现让可视为质点的质量为10kg的无动力小滑车从A点由静止释放，刚好可以滑过甲轨道后经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，然后从水平轨道飞入水池内，水面离水平轨道的高度h=5m，所有轨道均光滑，g=10m/s²．
（1）求小球到甲轨道最高点时的速度v．
（2）求小球到乙轨道最高点时对乙轨道的压力．
（3）若在水池中MN范围放上安全气垫（气垫厚度不计），水面上的B点在水平轨道边缘正下方，且BM=10m，BN=15m；要使小滑车能通过圆形轨道并安全到达气垫上，则小滑车起始点A距水平轨道的高度该如何设计？

Answer 1

分析：（1）小车在C轨道最高点对轨道恰好无压力，根据重力恰好等于向心力列式求解；
（2）对从C轨道最高点到D轨道最高点过程运用动能定理列式求解D轨道最高点速度，再根据在D轨道最高点时重力和弹力的合力提供向心力列式求解弹力大小；
（3）根据平抛运动的分位移公式列式求出平抛运动的初速度，再对从开始到平抛起点的过程运用动能定理列式求解．

解答：解：（1）在C轨道最高点：mg=m

v2

R

解得：v=5m/s
即小车通过C轨道最高点的速度为5m/s；
（2）从C轨道最高点到D轨道最高点过程，根据动能定理，有：
mg（2R-2r）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2

在D轨道最高点：
mg-N=m

v 2 D

r

解得：N=333.3N
由牛顿第三定律知，小车对轨道的压力为333.3N；
（3）小滑车要安全通过圆形轨道，在平台上的速度至少为v₀，从释放到平抛初位置过程，根据动能定理，有：
mgH=

1

2

m

v

2 0

           ①
从开始释放到C轨道最高点过程，根据动能定理，有
mg（H-2R）=

1

2

mv

2 C

′②
要能通过圆轨道，有
v_C′＞5m/s         ③
对于平抛运动，有：
h=

1

2

gt2            ④
S=v₀t             ⑤
由①②③④⑤解得
H=7.2m
答：（1）小球到甲轨道最高点时的速度为5m/s．
（2）小球到乙轨道最高点时对乙轨道的压力为333.3N．
（3）小滑车至少应从离水平轨道7.2m的地方开始下滑．

点评：本题关键要分析清楚小车的运动情况，然后根据向心力公式、牛顿第二定律、平抛运动分位移公式、动能定理列式求解；切入点在于小球恰好通过C点．