Question

（2010?泰安二模）如图甲所示，在y轴右侧（包括y轴）存在如图乙所示变化的均匀磁场，其变化周期为T₀，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正．在y轴左侧有竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从M板的中点无初速释放，通过N板小孔后从坐标原点沿x轴正方向射入磁场（粒子重力和空气阻力均不计）．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r．
（2）若T0=

2πm

qB0

，粒子在t=0时刻从O点射入磁场中，求t=T₀时粒子的位置坐标．
（3）若T0=

5πm

3qB0

，粒子在t=

T0

4

时刻从O点射入磁场中，求t=

5

4

T0时粒子的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理与牛顿第二定律，结合洛伦兹力提供向心力，即可求解．
（2）根据匀速圆周运动的周期公式，结合运动轨迹，即可求解；
（3）根据匀速圆周运动的半径公式，结合几何关系与圆心角，即可求解．

解答：解：（1）设粒子被电场加速获得速度大小为v₀，
据动能定理有qU=

1

2

m

v

2 0

解得v0=

2qU m

粒子垂直进入磁场后做半径为r的匀速圆周运动，
则qv0B0=m

v 2 0

r

得r=

mv0

qB0

=

2mU q B 2 0

（2）设粒子在磁场中运动的周期为T，
则T=

2πr

v0

=

2πm

qB0

=T0
所以，当t=0时刻从O点射入磁场中，在T₀时间内，粒子先用了

T

4

时间做逆时针方向的匀速圆周运动，
接着用

T

2

时间做顺时针方向的匀速圆周运动，最后用了

T

4

时间做逆时针方向的匀速圆周运动到达x轴上的P点，如图所示，
则OP=4r=4

2mU q B 2 0

P点的位置坐标为（4

2mU q B 2 0

，0）
（3）由于T0=

5πm

3qB0

=

5

6

t，从

T0

4

到

3

4

T0的

T0

2

内，
则有

T0

2

=

5

12

T=

150°

360°

T
即磁场变化半个周期内粒子运动转过150°角，经T₀时间粒子到达Q点轨迹如图，由几何关系α=60°，

.

O1A

=

.

O1O2

sinα
Q点的横坐标xQ=r=

2mU qB0

纵坐标v0=

.

OO1

+

.

O1A

+

.

O0O

=(2+

3

)r=(2+

3

)

2mU q B 2 0

即Q点的位置坐标为（

2mU q B 2 0

，(2+

3

)

2mU q B 2 0

）
答：（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r=

2mU q B 2 0

．
（2）若T0=

2πm

qB0

，粒子在t=0时刻从O点射入磁场中，则t=T₀时粒子的位置坐标为（4

2mU q B 2 0

，0）．
（3）若T0=

5πm

3qB0

，粒子在t=

T0

4

时刻从O点射入磁场中，则t=

5

4

T0时粒子的坐标为
（

2mU q B 2 0

，(2+

3

)

2mU q B 2 0

）．

点评：考查动能定理、牛顿第二定律与运动学公式的应用，掌握匀速圆周运动的半径与周期公式，理解几何关系在题中的巧用．