Question

【题目】人民网北京7月6日电 据中国航天科技集团公司官网消息，6月19日，长征三号乙遥二十八火箭发射中星9A卫星过程中运载火箭出现异常，未能将卫星送入预定轨道。中航科技集团公司在西安卫星测控中心的密切配合下，通过准确实施10次轨道调整，卫星于7月5日成功定点于东经101.4°赤道上空的预定轨道。目前，卫星各系统工作正常，转发器已开通，后续将按计划开展在轨测试工作。

如图所示，卫星圆轨道Ⅰ通过椭圆轨道Ⅱ调整至圆轨道Ⅲ，P点是圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的切点，Q点椭圆轨道Ⅱ调和圆轨道Ⅲ的切点。已知中星9A卫星的质量为m=700kg，地球质量为M=5.98×1024kg，地球表面重力加速度g=9.80m/s2，地球半径为R0=6400km，圆轨道Ⅰ的轨道半径为1.5R0，圆轨道Ⅰ的轨道半径为2.5R0，地面附近物体所受重力等于万有引力，=1.41，=1.73，=2.34，地球同步卫星的轨道半径为6.6R0、环绕周期为T0=8.64×104s。

求：

(1)卫星在圆轨道I、Ⅲ上运行的速度v1、v4各是多大？

(2)将卫星从圆轨道I送到圆轨道Ⅲ，至少要对卫星做多少功？

(3)以距离地球无限远处为势能零点，质量为m卫星距离地心为R时，其引力势能为，且卫星在P点和Q点时，，则卫星在椭圆轨道P点、Q点的速度各是多大？

Answer 1

【答案】(1) (2)E=5.85×109 J (3)

【解析】

(1)卫星在圆轨道上最匀速圆周运动的过程中，万有引力提供向心力，所以在圆轨道I上：

r1=1.5R0

又

所以：

代入数据得：

v1＝6.45km/s

同理在圆轨道Ⅲ上：

r0=2.5R0

所以：

代入数据得：

v4=5.00km/s

(2) 要把卫星从圆轨道I送到圆轨道Ⅲ，外力做的功等于卫星增加的机械能，由功能关系得：

代入数据，联立得：

W=5.85×109J

(3) 卫星在椭圆轨道从P点到Q点的过程中机械能守恒，得：

又知道卫星在P点和Q点时，v2×1.5R0=v3×2.5R0，所以：

v2=7.21km/s；v3=4.33km/s