Question

3．如图，光滑水平面上，半径为R（R足够大）的圆弧曲面C质量为2M，质量为M的小球B置于其底端，另一个小钢球A质量为$\frac{M}{2}$，以V₀=6m/s的速度向B而来，并发生弹性碰撞，不计一切摩擦，球均视为质点，取g=10m/s²，则：
（1）小球B的最大速率是多少？
（2）小球B运动到最高点时的速率？
（3）试判断小球B能否与A再次发生碰撞？

Answer 1

分析 （1）A与B碰撞后瞬间B的速度最大．根据动量守恒定律和机械能守恒定律求解B的最大速率．
（2）B冲上C的过程，系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒．小球B运动到最高点时B与C的速度相同，由系统的水平方向动量守恒求解．
（3）对B在C上运动的整个过程，运用动量守恒定律和机械能守恒定律求出B离开C时的速度，再与A的速度比较，即可判断小球B能否与A再次发生碰撞．

解答 解：（1）A与B发生弹性碰撞，取水平向左为正方向，由系统的动量守恒有
  $\frac{M}{2}$v₀=$\frac{M}{2}$v_A+Mv_B；
由动能守恒得：
 $\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v₀²=$\frac{1}{2}$•$\frac{M}{2}$v_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²；
解得 v_A=$\frac{\frac{M}{2}-M}{\frac{M}{2}+M}{v}_{0}$=-$\frac{{v}_{0}}{3}$=-2m/s
  v_B=$\frac{2•\frac{M}{2}}{\frac{M}{2}+M}{v}_{0}$=$\frac{2}{3}{v}_{0}$=4m/s
故B的最大速率为4m/s
（2）之后B冲上C并运动到最高点时二者共速设为v．则BC系统水平动量守恒，得
  Mv_B=（M+2M）v
解得 v=$\frac{{v}_{B}}{3}$=$\frac{4}{3}$m/s
（3）从B冲上C然后又滑下的过程，类似于弹性碰撞，设BC分离时速度分别为v_B′、v_C′．
由水平动量守恒有
   Mv_B=Mv_B′+2Mv_C′
动能也守恒，有
  $\frac{1}{2}$Mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_B′²+$\frac{1}{2}$•2Mv_C′²
解得 v_B′=-$\frac{{v}_{B}}{3}$=-$\frac{4}{3}$m/s，v_C′=$\frac{2}{3}{v}_{B}$=$\frac{8}{3}$m/s
虽然A、B后来的运动方向相同，但因|v_B′|＜|v_A|，所以二者不会再次发生碰撞
答：
（1）小球B的最大速率是4m/s．
（2）小球B运动到最高点时的速率是$\frac{4}{3}$m/s．
（3）小球B不能与A再次发生碰撞．

点评 本题要分析清楚物体运动过程，抓住碰撞过程动量守恒与机械能守恒，B在C上运动的过程水平动量守恒与机械能守恒进行研究．