Question

12．跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面224m水平飞行时，运动员离开飞机在竖直方向做自由落体运动．运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5m/s²的平均加速度匀减速下降．为保证运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5m/s，g=10/s²．求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？
（2）运动员在空中的最短时间为多少？

Answer 1

分析 运动员运动过程比较复杂，不是单一的匀变速运动，开始做自由落体运动，然后做匀减速运动，根据其运动形式列相应的方程求解即可．
根据落地的速度，结合速度位移公式求出着地相当于从多高处自由下落．

解答 解：设运动员未开伞自由下落的时间为t₁，开伞后做匀减速运动的时间为t₂
以向下为正方向，则匀减速时的加速度为：a=-12.5m/s²
在临界情况下，运动员将以5m/s的速度着落．
所以有速度关系：v_t=gt₁+at₂=10t₁-12.5t₂=5  …①
自由下落的高度：h₁=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$=5${{t}_{1}}^{2}$…②
展开伞时离地高度（即减速下落的高度）：h₂=gt₁t₂+$\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$=$10{t}_{1}{t}_{2}-\frac{25}{4}{{t}_{2}}^{2}$…③
位移关系：h₁+h₂=224 …④
联合①②③④式可解得：t₁=5s，t₂=3.6s，h₁=125m，h₂=99m．
所以运动员展开伞时离地高度至少应为99m
运动员在空中的最短时间是：t=t₁+t₂=8.6s．
根据速度位移公式得，h=$\frac{{{v}_{t}}^{2}}{2g}=\frac{25}{20}m=1.25m$，即着地时相当于从1.25m处自由落下．
答：（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为99m，着地时相当于从1.25m处自由落下．
（2）运动员在空中的最短时间为8.6s．

点评 复杂运动过程都是由简单过程组成的，因此解答复杂运动问题，关键是分析清楚其运动过程，搞清运动形式，然后根据相应规律列方程求解．