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    3．如图所示，坚直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑轨道半径为R=1.6m，A端与圆心0等高，B端 在O的正上方，与A右侧相连的是高和宽都为L=0.3m的台阶，台阶有若干级，一个质量为 m=0.3kg的小球从A点正上方h处，由静止释放，自由下落至A点后进入圆形轨道，不计小球进入轨道时的能量损失，不计空气阻力，小球恰能到达轨道的最高点B，求：
    （1）释放点距A点的竖直高度；
    （2）若释放点距A点的竖直高度H=3R，则小球在B点时对轨道的压力是多大？小球会落在第几级台阶上？设g=10m/s2．

    分析 （1）小球恰能到达轨道的最高点B，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过B点的速度．对小球从刚释放到B点，由动能定理求释放点距A点的竖直高度．
    （2）对小球从刚释放到B点，由动能定理求出小球通过B点的速度．在B点，由牛顿定律求小球在B点时对轨道的压力．由平抛运动的规律和几何关系分析小球会落在第几级台阶上．

    解答 解：（1）对小球从刚释放到B点，由动能定理：
       mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
    对小球在B点，由牛顿第二定律：
      mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
    解得 v1=4m/s，h=2.4m
    （2）对小球从刚释放到B点，由动能定理：
        mg（H-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
    对小球在B点由牛顿第二定律：
       FN+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
    解得 v2=8m/s，FN=9N
    由牛顿第三定律可知，小球在B点对轨道的压力大小是9N．
    连接B、A两点并延长，得一倾角为θ的斜面，小球从B点飞出后做平抛运动，设小球经过时间t落到斜面上，水平位移为x，竖直位移为y，落到斜面上时竖直分速度为vy，由平抛运动规律，得：
       x=v2t
       y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
    由几何关系有 y=xtanθ
      nL=x-R
    联立解得 t=1.6s，x=12.8m，n=37.3
    所以小球打在第38级台阶上．      
    答：
    （1）释放点距A点的竖直高度是2.4m；
    （2）若释放点距A点的竖直高度H=3R，则小球在B点时对轨道的压力是9N，小球会落在第38级台阶上．

    点评 本题考查了圆周运动、平抛运动与动能定理的基本运用，要知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，明确圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力，这是解决本题的关键．

    练习册系列答案
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    （2）若小球从管口C点飞出后恰好打到MN的中点，求P、A两点的高度差h2；
    （3）设P、A两点的高度差为h，试推导在小球能打到MN的前提下，轨道管口C点对小球的弹力F的大小随高度h的变化关系式．

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