Question

11．如图所示，交流发电机的矩形金属线圈abcd的边ab=cd=50cm，bc=ad=30cm．匝数n=100，线圈的总电阻r=10Ω，线圈位于磁感应强度B=0.050T的匀强磁场中，线圈平面与磁场方向平行，线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环E、F（集流环）焊接在一起，并通过电刷与阻值R=90Ω的定值电阻连接．现使线圈绕过bc和ad边中点，且垂直于磁场的转轴OO′以角速度ω=400rad/s匀速转动．电路中其他电阻及线圈的自感系数均可忽略不计，求：
（1）线圈中感应电动势的最大值的计算式为E_m=nBSω，请你根据电磁感应的知识推导该表达式；
（2）计算线圈中感应电流的有效值；
（3）线圈转动过程中电阻R的发热功率；
（4）从线圈经过图示位置开始计时，经过$\frac{1}{4}$周期时间通过电阻R的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据交流电的产生过程，代入相关的数据即可推导出发电机线圈产生感应电动势的最大值的表达式；
（2）根据公式E_m=nBSω求解电动势的最大值；求得电流的最大值，根据$I=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$求得有效值．
（3）通过电阻R的电流的有效值求功率；
（4）用电流的平均值求电量．

解答 解：（1）线圈平面与磁场方向平行时产生感应电动势最大，设ab边的线速度为v，该边产生的感应电动势为E₁=BL_abv
与此同时，线圈的cd边也在切割磁感线，产生的感应电动势为E₂=BL_abv
线圈产生的总感应电动势为：E_m=n（E₁+E₂）因为L_ab=L_cd，
所以，E_m=n2BL_abv
线速度v=ω$\frac{1}{2}$L_ad，所以 E_m=nBL_ab L_bcω，而S=L_ab L_bc（S表示线圈的面积）
E_m=nBSω
（2）线圈产生感应电动势的最大值为：E_m=nBωab×bc=300V
根据闭合电路欧姆定律可知，线圈中感应电流的最大值为：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}$
代入数据解得：I_m=3.0A
有效值为$I=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}A$
（3）线圈转动过程中电阻R的热功率为：P=I²R
代入数据解得：P=405W
（4）根据法拉第电磁感应定律有：$\overline{E}=n\frac{△∅}{△t}$=n　$\frac{B△s}{\;}△t$
根据闭合电路欧姆定律有：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
代入数据解得：$q=\overline{I}•△t$=7.5×10³C
答：（1）推导如上所示
（2）线圈中感应电流的最大值为3.0A；
（3）线圈转动过程中电阻R的发热功率为405W；
（4）从线圈经过图示位置开始计时，经过$\frac{1}{4}$周期时间通过电阻R的电荷量为7.5×10³C．

点评 本题关键是要能够区分交流的有效值、瞬时值、最大值和平均值，求解电表读数用有效值，求解电量用平均值