Question

6．一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里，在xOy平面上，磁场分布在以原点O为圆心的一个半圆形区域内，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿y轴负方向，后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴正方向的夹角为60°，P到O的距离为L，如图所示，不计重力的影响，试求：
（1）磁场区域的直线边界与x轴的夹角θ；
（2）磁场的磁感强度B的大小；
（3）xOy平面上磁场区域的最小半径R．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力，画出运动轨迹，确定圆心、半径，找出磁场边界，即可求出磁场边界与x轴的夹角
（2）根据运动轨迹，结合数学知识求出半径，再由半径公式求出B
（3）磁场必须包围带电粒子的轨迹，因为求最小面积，所以最小的半圆必须以轨迹圆的直径为半径．

解答 解：（1）带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示
磁场区域的直线边界OA与x轴的夹角为∠AOB，因为△POC≌△PAC，PO=PA，所以∠POA=60°，∠AOB=60°
所以磁场区域的直线边界与x轴的夹角θ为30°
（2）OP=L，根据几何关系，$tan30°=\frac{r}{l}$
所以$r=\frac{\sqrt{3}}{3}L$①
洛伦兹力提供向心力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$得$r=\frac{mv}{qB}$②
联立①②得$\frac{\sqrt{3}}{3}L=\frac{mv}{qB}$
解得$B=\frac{\sqrt{3}mv}{qL}$
（3）半圆形磁场区域要能包围轨迹如图，所以最小的磁场区域的半径$R=2r=2×\frac{\sqrt{3}}{3}L=\frac{2\sqrt{3}}{3}L$
答：（1）磁场区域的直线边界与x轴的夹角θ为30°；
（2）磁场的磁感强度B的大小$\frac{\sqrt{3}mv}{qL}$；
（3）xOy平面上磁场区域的最小半径R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$．

点评 解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，根据几何关系求出半径，注意认真审题，画草图才能有助于对问题的分析和理解．